Question

【題目】如圖一，菱形與菱形的頂點(diǎn)重合，點(diǎn)在對角線上，且.

（1）問題發(fā)現(xiàn)：

的值為________；

（2）探究與證明：

將菱形繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)角（），如圖二所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）拓展與運(yùn)用：

菱形在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)在一條直線上時，如圖三所示，連接并延長，交于點(diǎn)，若，，則的長為________.

Answer 1

【答案】（1）；（2）,理由見解析；（3）AH＝3

【解析】

（1）過點(diǎn)做，證明菱形菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，得到，即可求出的值.

（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

（3）證明，得到，根據(jù)，，得到，即可求解.

（1）如圖一:過點(diǎn)做，

∵四邊形與四邊形都是菱形，點(diǎn)在對角線上，

且.

∴菱形菱形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴.

∴.

（2）如圖二，連接，∵四邊形與四邊形都是菱形，

且，

∴菱形菱形.

∵、分別是菱形和菱形的對角線，

∴，，

∴，∴，∴，

∴.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，

∴，

∴，

∴線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；

（3）∵在菱形與菱形中，∵，，，

∵點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，∴，∴，

∴在與中，

∵，，

∴，

∴，

同（1）可知，∵，，∴，∴，

∴，

∴.