Question

直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，且，.

（1）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，求過三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式.

（2）在（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（3）若將點(diǎn)分別變換為點(diǎn)（且為常數(shù)），設(shè)過兩點(diǎn)且以的垂直平分線為對稱軸的拋物線（開口向上）與軸的交點(diǎn)為，其頂點(diǎn)為，記的面積為，的面積為，求的值.

Answer 1

解：（1）如圖所示，點(diǎn)，

過作軸于點(diǎn)，

則在中，，

∴，∴，則

設(shè)過三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式為

，將點(diǎn)代入得，

∴所求拋物線的表達(dá)式是.………………3分

（2）設(shè)存在第一象限的點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，則，由和可求得直線的表達(dá)式為，

則直線的表達(dá)式為，

聯(lián)立，解得（舍去）或，則，

此時(shí)，所以存在點(diǎn)使得四邊形為梯形.8分

（3）依題意可設(shè)拋物線表達(dá)式為，則，，，設(shè)拋物線的對稱軸與軸的交點(diǎn)為，則

∴：=1：12. ………………14分