Question

【題目】如圖，點(diǎn)A在函數(shù)y=（x＞0）圖象上，過點(diǎn)A作x軸和y軸的平行線分別交函數(shù)y=圖象于點(diǎn)B，C，直線BC與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為D，E．

（1）當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）試問：當(dāng)點(diǎn)A在函數(shù)y=（x＞0）圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABC的面積是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出△ABC的面積，若變化，請(qǐng)說明理由．

（3）試說明：當(dāng)點(diǎn)A在函數(shù)y=（x＞0）圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段BD與CE的長始終相等．

Answer 1

【答案】（1）B點(diǎn)坐標(biāo)為（，4）；

（2）即△ABC的面積不發(fā)生變化，其面積為；

（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由條件可先求得A點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得B點(diǎn)縱坐標(biāo)，再代入y=可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）可設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出C、B的坐標(biāo)，則可表示出AB和AC的長，可求得△ABC的面積；

（3）可證明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的長可表示出EF，可得到BG=EF，從而可證明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．

解析：（1）∵點(diǎn)C在y=的圖象上，且C點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，

∴C（1，1），

∵AC∥y軸，AB∥x軸，

∴A點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，

∵A點(diǎn)在函數(shù)y=（x＞0）圖象上，

∴A（1，4），

∴B點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，

∵點(diǎn)B在y=的圖象上，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（，4）；

（2）設(shè)A（a，），則C（a，），B（，），

∴AB=a﹣=a，AC=﹣=，

∴S△ABC=ABAC=，

即△ABC的面積不發(fā)生變化，其面積為；

（3）如圖，設(shè)AB的延長線交y軸于點(diǎn)G，AC的延長線交x軸于點(diǎn)F，

∵AB∥x軸，

∴△ABC∽△EFC，

∴，即，

∴EF=a，

由（2）可知BG=a，

∴BG=EF，

∵AE∥y軸，∴∠BDG=∠FCE，

在△DBG和△CFE中

∴△DBG≌△CEF（AAS），

∴BD=EF．