【題目】如圖,拋物線y=﹣1.25x2+4.25x+1與y軸交于A點(diǎn),過點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B,過點(diǎn)B作BC⊥x軸,垂足為點(diǎn)C(3,0)
(1)求直線AB的函數(shù)關(guān)系式;
(2)動點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動,過點(diǎn)P作PN⊥x軸,交直線AB于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)P移動的時(shí)間為t秒,MN的長度為s個(gè)單位,求s與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
(3)設(shè)在(2)的條件下(不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O,點(diǎn)C重合的情況),連接CM,BN,當(dāng)t為何值時(shí),四邊形BCMN為平行四邊形?問對于所求的t值,平行四邊形BCMN是否菱形?請說明理由.
【答案】
(1)解:∵當(dāng)x=0時(shí),y=1,∴A(0,1).
當(dāng)x=3時(shí),y=﹣ ×32+
×3+1=2.5,∴B(3,2.5),
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,
則: ,解得:
,
∴直線AB的解析式為y= x+1
(2)解:∵動點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動,點(diǎn)P移動的時(shí)間為t秒,
∴OP=1t=t,
∴P(t,0)(0≤t≤3),
∵過點(diǎn)P作PN⊥x軸,交直線AB于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N,
∴M(t, t+1),N(t,﹣
t2+
t+1),
∴s=MN=NP﹣MP=﹣ t2+
t+1﹣(
t+1)=﹣
t2+
t(0≤t≤3)
(3)解:由題意,可知當(dāng)MN=BC時(shí),四邊形BCMN為平行四邊形,
此時(shí),有﹣ t2+
t=
,
解得t1=1,t2=2,
所以當(dāng)t=1或2時(shí),四邊形BCMN為平行四邊形.
①當(dāng)t=1時(shí),MP= ,NP=4,故MN=NP﹣MP=
,
又在Rt△MPC中,MC= =
,故MN=MC,此時(shí)四邊形BCMN為菱形;
②當(dāng)t=2時(shí),MP=2,NP= ,故MN=NP﹣MP=
,
又在Rt△MPC中,MC= =
,故MN≠M(fèi)C,此時(shí)四邊形BCMN不是菱形.
【解析】(1)將x=0、3分別代入函數(shù)解析式,求出對應(yīng)的函數(shù)值,得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法就可求出直線AB的解析式。
(2)根據(jù)題意得到OP=t,可得到點(diǎn)P的坐標(biāo),由PN⊥x軸,交直線AB于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N,可得到點(diǎn)M、N的坐標(biāo),由s=MN=NP﹣MP,可求得s與t的函數(shù)解析式及t的取值范圍。
(3)由題意知MN∥BC,因此當(dāng)MN=BC時(shí),四邊形BCMN為平行四邊形,建立方程,求解即可求得t的值;當(dāng)t=1時(shí),在Rt△MPC中,求出MC的長即可;②當(dāng)t=2時(shí),在Rt△MPC中求出MC即可判斷平行四邊形BCMN是否菱形。
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),掌握確定一個(gè)一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法;一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn).當(dāng)b2-4ac>0時(shí),圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac=0時(shí),圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac<0時(shí),圖像與x軸沒有交點(diǎn).即可以解答此題.
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【題目】某學(xué)校為開展“陽光體育”活動,計(jì)劃拿出不超過3000元的資金購買一批籃球,羽毛球拍和乒乓球拍,已知籃球,羽毛球拍和乒乓球拍的單價(jià)比為8:3:2,且其單價(jià)和為130元,
(1)請問籃球,羽毛球拍和乒乓球拍的單價(jià)分別是多少元?
(2)若要求購買籃球,羽毛球拍和乒乓球拍的總數(shù)量是80個(gè)(副),羽毛球拍的數(shù)量是乒乓球拍數(shù)量的4倍,且購買乒乓球拍的數(shù)量不超過15副請問有幾種購買方案?哪種方案,才能使運(yùn)費(fèi)最少?最少運(yùn)費(fèi)是多少?
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(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)若AB=DB,猜想:四邊形DFBE是什么特殊的四邊形?并說明理由.
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【題目】如圖,拋物線y= x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),且A(﹣1,0).
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論;
(3)點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動點(diǎn),當(dāng)△DCM的周長最小時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,將拋物線y=x2+2x+3繞著它與y軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,所得拋物線的解析式是( )
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B.y=﹣(x﹣1)2+4
C.y=﹣(x﹣1)2+2
D.y=﹣(x+1)2+4
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【題目】某校在七年級設(shè)立了六個(gè)課外興趣小組,每個(gè)參加者只能參加一個(gè)興趣小組,如圖是六個(gè)興趣小組不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖. 根據(jù)圖中信息,可得下列結(jié)論不正確的是( )
A.七年級共有320人參加了興趣小組
B.體育興趣小組對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)為96°
C.美術(shù)興趣小組對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)為72°
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