Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣1.25x2+4.25x+1與y軸交于A點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（3，0）

（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，MN的長(zhǎng)度為s個(gè)單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O，點(diǎn)C重合的情況），連接CM，BN，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形？問(wèn)對(duì)于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵當(dāng)x=0時(shí)，y=1，∴A（0，1）．

當(dāng)x=3時(shí)，y=﹣ ×32+ ×3+1=2.5，∴B（3，2.5），

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

則： ，解得： ，

∴直線AB的解析式為y= x+1

（2）解：∵動(dòng)點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，

∴OP=1t=t，

∴P（t，0）（0≤t≤3），

∵過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，

∴M（t， t+1），N（t，﹣ t2+ t+1），

∴s=MN=NP﹣MP=﹣ t2+ t+1﹣（ t+1）=﹣ t2+ t（0≤t≤3）

（3）解：由題意，可知當(dāng)MN=BC時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形，

此時(shí)，有﹣ t2+ t= ，

解得t1=1，t2=2，

所以當(dāng)t=1或2時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形．

①當(dāng)t=1時(shí)，MP= ，NP=4，故MN=NP﹣MP= ，

又在Rt△MPC中，MC= = ，故MN=MC，此時(shí)四邊形BCMN為菱形；

②當(dāng)t=2時(shí)，MP=2，NP= ，故MN=NP﹣MP= ，

又在Rt△MPC中，MC= = ，故MN≠M(fèi)C，此時(shí)四邊形BCMN不是菱形．

【解析】（1）將x=0、3分別代入函數(shù)解析式，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法就可求出直線AB的解析式。
（2）根據(jù)題意得到OP=t，可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，由PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，可得到點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，由s=MN=NP﹣MP，可求得s與t的函數(shù)解析式及t的取值范圍。
（3）由題意知MN∥BC，因此當(dāng)MN=BC時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形，建立方程，求解即可求得t的值；當(dāng)t=1時(shí)，在Rt△MPC中，求出MC的長(zhǎng)即可；②當(dāng)t=2時(shí)，在Rt△MPC中求出MC即可判斷平行四邊形BCMN是否菱形。
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法；一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．即可以解答此題．