Question

已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-2）且與y軸交于（0，

5

2

）．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求此拋物線與x軸的交點(diǎn)，并分別直接寫出當(dāng)y＞0和y＜0時x的取值范圍；
（3）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2，y₁），（-1，y₂），（

1

2

，y₃），試比較y₁，y₂，y₃的大�。�（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）設(shè)二次函數(shù)頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x-3）²-2，然后把與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出a的值，即可得解；
（2）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)函數(shù)圖象寫出不等式的解集；
（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出y₁，y₂，y₃的值，即可比較大�。�

解答：解：（1）∵二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-2），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-3）²-2，
將點(diǎn)（0，

5

2

）代入得9a-2=

5

2

，
解得a=

1

2

，
∴此拋物線的解析式y(tǒng)=

1

2

（x-3）²-2；
圖象為：


（2）令y=0，則

1

2

（x-3）²-2=0，
∴x-3=2或x-3=-2，
解得x=5或x=1，
所以，拋物線與x軸的交點(diǎn)為（1，0）和（5，0），
由圖形可知，y＞0時，x＜1或x＞5；
y＜0時，1＜x＜5；

（3）當(dāng)x₁=2時，y₁=

1

2

（2-3）²-2=-

3

2

，
當(dāng)x₂=-1時，y₂=

1

2

（-1-3）²-2=6，
當(dāng)x₃=

7

2

時，y₁=

1

2

（

7

2

-3）²-2=-

15

8

，
所以，y₂＞y₁＞y₃．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與x軸的交點(diǎn)的求解，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，（1）利用頂點(diǎn)式解析式求解更加簡便．