Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線交于、兩點(diǎn)，過(guò)、分別作準(zhǔn)線的垂線交拋物線于點(diǎn)、.

（1）求拋物線的方程；

（2）證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn).

【解析】

（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程可求得的值，由此可求得拋物線的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出圓的方程，與直線方程聯(lián)立，可得出關(guān)于、的二次方程，并設(shè)點(diǎn)、，可列出韋達(dá)定理，并求得直線的方程，進(jìn)而可求得直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

依題意，，拋物線的方程為；

（2），設(shè)，則，，

于是圓的方程為，

令，得，①

設(shè)、，由①式得，，②

直線的斜率為，

則直線的方程為，

代入②式就有，

因?yàn)樯鲜綄?duì)恒成立，故，即直線過(guò)定點(diǎn).