Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時，證明：；

（2）若在上有且只有一個零點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

(1) 將的值代入，再求出函數(shù)的最小值，即可證明；

(2)對進(jìn)行分類討論，當(dāng)可得函數(shù)有無數(shù)個零點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)，確定為負(fù)故符合題意，當(dāng)時，求導(dǎo)函數(shù)，對導(dǎo)數(shù)再求一次導(dǎo)，再對進(jìn)行分類討論，同時利用奇偶性可得當(dāng)時在上有且只有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，利用零點(diǎn)定理取一個特值，判斷出不合題意，得出的取值范圍.

（1）當(dāng)時，，

所以的定義域?yàn)?/span>R,且故為偶函數(shù)．

當(dāng)時,，

記，所以．

因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增，

即在上單調(diào)遞增，

故，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

因?yàn)?/span>為偶函數(shù),所以當(dāng)時,.

（2）①當(dāng)時，，令，解得，

所以函數(shù)有無數(shù)個零點(diǎn)，不符合題意；

②當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故符合題意；

③因?yàn)?/span>，所以是偶函數(shù)，

又因?yàn)?/span>，故是的零點(diǎn).

當(dāng)時，，記，則.

1）當(dāng)時，，

故在單調(diào)遞增，故當(dāng)時，即，

故在單調(diào)遞增，故

所以在沒有零點(diǎn).

因?yàn)?/span>是偶函數(shù),所以在上有且只有一個零點(diǎn).

2）當(dāng)時，當(dāng)時，存在，使得，且當(dāng)時，單調(diào)遞減，故，

即時，，故在單調(diào)遞減，，

又，所以，

由零點(diǎn)存在性定理知在上有零點(diǎn)，又因?yàn)?/span>是的零點(diǎn)，

故不符合題意；

綜上所述，a的取值范圍為