【題目】已知函數(shù),若存在
,使得關(guān)于
的不等式
恒成立,則
的取值范圍為
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
解法1:變換主元研究函數(shù),進而令
的單調(diào)性. 解法2:按照
和當(dāng)
對函數(shù)進行求導(dǎo),討論單調(diào)性.
解法1:(1)當(dāng)時,
,所以
;
(2)當(dāng)時,令
,
因為存在,使得
,等價于
,
所以,存在,使得關(guān)于
的不等式
恒成立,
等價于恒成立.
令(
),則
,所以
單調(diào)遞增,
所以,即
;
(3)當(dāng)時,因為
,所以
,
所以要存在,使得關(guān)于
的不等式
恒成立,
等價于恒成立.
令(
),則
單調(diào)遞減,所以
,即
.
綜上,得.
解法2:,
(1)當(dāng)時,
,所以
單調(diào)遞減,且當(dāng)
趨向于
時,
趨向于
,與不等式恒成立矛盾,舍去;
(2)當(dāng)時,令
,
,所以
在區(qū)間
單調(diào)遞增;
令,
,所以
在區(qū)間
單調(diào)遞減;
所以存在,使得
成立.
令,
,
所以:當(dāng)時,
,
單調(diào)遞增;
當(dāng)時,
,
單調(diào)遞減.
所以,即
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知遞增數(shù)列共有2019項,且各項均不為零,
,若從數(shù)列
中任取兩項
,
,當(dāng)
時,
仍是數(shù)列
中的項,則數(shù)列
中的各項和
______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市的華為手機專賣店對該市市民使用華為手機的情況進行調(diào)查.在使用華為手機的用戶中,隨機抽取100名,按年齡(單位:歲)進行統(tǒng)計的頻率分布直方圖如圖:
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,分別求出樣本的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)和中位數(shù)的估計值(均精確到個位);
(2)在抽取的這100名市民中,按年齡進行分層抽樣,抽取20人參加華為手機宣傳活動,現(xiàn)從這20人中,隨機選取2人各贈送一部華為手機,求這2名市民年齡都在內(nèi)的人數(shù)為
,求
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,射線和
均為筆直的公路,扇形
區(qū)域(含邊界)是一蔬菜種植園,其中
、
分別在射線
和
上.經(jīng)測量得,扇形
的圓心角(即
)為
、半徑為1千米.為了方便菜農(nóng)經(jīng)營,打算在扇形
區(qū)域外修建一條公路
,分別與射線
、
交于
、
兩點,并要求
與扇形弧
相切于點
.設(shè)
(單位:弧度),假設(shè)所有公路的寬度均忽略不計.
(1)試將公路的長度表示為
的函數(shù),并寫出
的取值范圍;
(2)試確定的值,使得公路
的長度最小,并求出其最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合均為實數(shù)集
的子集,記
.
(1)已知,試用列舉法表示
;
(2)設(shè),當(dāng)
且
時,曲線
的焦距為
,如果
,
,設(shè)
中的所有元素之和為
,求
的值;
(3)在(2)的條件下,對于滿足,且
的任意正整數(shù)
,不等式
恒成立, 求實數(shù)
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為的正方形
中,線段BC的端點
分別在邊
、
上滑動,且
,現(xiàn)將
,
分別沿AB,AC折起使點
重合,重合后記為點
,得到三被錐
.現(xiàn)有以下結(jié)論:
①平面
;
②當(dāng)分別為
、
的中點時,三棱錐
的外接球的表面積為
;
③的取值范圍為
;
④三棱錐體積的最大值為
.
則正確的結(jié)論的個數(shù)為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知
是曲線
:
上的動點,將
繞點
順時針旋轉(zhuǎn)
得到
,設(shè)點
的軌跡為曲線
.以坐標原點
為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線,
的極坐標方程;
(2)在極坐標系中,點,射線
與曲線
,
分別相交于異于極點
的
兩點,求
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)當(dāng)時,求曲線
在點
處的切線方程;
(2)當(dāng)時,求證:函數(shù)
恰有兩個零點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某次高三年級模擬考試中,數(shù)學(xué)試卷有一道滿分10分的選做題,學(xué)生可以從A,B兩道題目中任選一題作答.某校有900名高三學(xué)生參加了本次考試,為了了解該校學(xué)生解答該選做題的得分情況,作為下一步教學(xué)的參考依據(jù),計劃從900名考生的選做題成績中隨機抽取一個容量為10的樣本,為此將900名考生選做題的成績按照隨機順序依次編號為001~900.
(1)若采用系統(tǒng)抽樣法抽樣,從編號為001~090的成績中用簡單隨機抽樣確定的成績編號為025,求樣本中所有成績編號之和;
(2)若采用分層抽樣,按照學(xué)生選擇A題目或B題目,將成績分為兩層.已知該校高三學(xué)生有540人選做A題目,有360人選做B題目,選取的樣本中,A題目的成績平均數(shù)為5,方差為2,B題目的成績平均數(shù)為5.5,方差為0.25.
(i)用樣本估計該校這900名考生選做題得分的平均數(shù)與方差;
(ii)本選做題閱卷分值都為整數(shù),且選取的樣本中,A題目成績的中位數(shù)和B題目成績的中位數(shù)都是5.5.從樣本中隨機選取兩個大于樣本平均值的數(shù)據(jù)做進一步調(diào)查,求取到的兩個成績來自不同題目的概率.
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