Question

若二項(xiàng)式(2cos2α+

1

cosα

)n（0＜α＜π）的展開式中，第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，且第6項(xiàng)為168，則a的值是

π

3

．

Answer 1

分析：先確定數(shù)列的通項(xiàng)，再利用第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，可確定n的值，利用第6項(xiàng)為168，即可求得α的值．

解答：解：展開式的通項(xiàng)為：T_r+1=

C

r n

(2cos2α)n-r(

1

cosα

)r=

C

r n

×2n-r×(cosα)2n-3r
∵第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，
∴2

C

2 n

=

C

1 n

+

C

3 n

，∴n²-9n+14=0，∴n=7或n=2（舍去）
∵第6項(xiàng)為168
∴

C

5 7

×22×(cosα)-1=168
∴cosα=

1

2

∵0＜α＜π
∴α=

π

3

故答案為：

π

3

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．