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(北京海淀模擬)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，若對任意的實數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f(x)為Ω函數(shù)．

(1)試判斷函數(shù)和中哪些是Ω函數(shù)，并說明理由；

(2)若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對一切實數(shù)，均有，求證：函數(shù)f(x)一定是Ω函數(shù)；

(3)求證：若a＞1，則函數(shù)是Ω函數(shù)．

答案：略
解析：

證明：(1)∵|x||sin x|≤|x|，

是Ω函數(shù)；

∵，

∴不滿足|f(0)|≤|0|，

∴不是Ω函數(shù)；

∵當(dāng)x=0時，顯然符合條件；當(dāng)x≠0時，，

∴是Ω函數(shù)．

(2)∵函數(shù)y=f(x)是定義在R的奇函數(shù)，

∴f(－0)=－f(0)，即f(0)=0．

∴|f(x)－f(0)|≤|x－0|，即|f(x)|≤|x|，

∴函數(shù)f(x)一定是Ω函數(shù)．

(3)設(shè)F(x)=f(x)－x，則．

①當(dāng)x＞0時，∵a＞1，

∴，

當(dāng)x=0時，，

∴當(dāng)x≥0時，．

∴F(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)．

F(x)≤F(0)，又F(0)=f(0)=0，

∴F(x)=f(x)－x≤0．

∵x＞0時，，

∴函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，

∴f(x)≥f(0)=0．

∴0≤f(x)≤x，即|f(x)|≤|x|．

②當(dāng)x＜0時，－x＞0，∴|f(－x)|≤|－x|，

顯然f(x)為偶函數(shù)，

∴|f(x)|≤|－x|，即|f(x)|≤|x|，

∴在R上恒有|f(x)|≤|x|成立，則函數(shù)f(x)一定是Ω函數(shù)．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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(1)求a，b的值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出在每個區(qū)間上的增減性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：013

(2007北京崇文模擬)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是圖中的

[　　]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

(2007北京崇文模擬)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上有定義，且對任意都有，則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的“凹函數(shù)”．

(1)已知，決斷f(x)是否是“凹函數(shù)”，若是，請給出證明；若不是，請說明理由；

(2)對于(1)中的函數(shù)f(x)有下列性質(zhì)：“若[a，b]，則存在使得”成立．利用這個性質(zhì)證明唯一；

(3)設(shè)A、B、C是函數(shù)圖象上三個不同的點，求證：△ABC是鈍角三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

(2007北京海淀模擬)設(shè)關(guān)于x的方程有兩個實根α、β，且α＜β．定義函數(shù)．

(1)求αf(α)＋βf(β)的值；

(2)判斷f(x)在區(qū)間(α、β)上的單調(diào)性，并加以證明；

(3)若λ，μ為正實數(shù)，證明不等式：．

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