Question

（本題滿分16分）

已知數(shù)列{a_n}滿足S_n＋a_n＝2n＋1, 

(1) 寫出a₁, a₂, a₃,并推測(cè)a_n的表達(dá)式；

(2) 用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論。

 

Answer 1

【答案】

(1) a₁＝, a₂＝, a₃＝, 猜測(cè) a_n＝2－   (2)見解析

【解析】解： (1) a₁＝, a₂＝, a₃＝, 猜測(cè) a_n＝2－ ……5分

  (2) ①由（1）已得當(dāng)n＝1時(shí)，命題成立；……8分

②假設(shè)n＝k時(shí),命題成立，即 a_k＝2－, ……10分

當(dāng)n＝k＋1時(shí), a₁＋a₂＋……＋a_k＋a_k＋1＋a_k＋1＝2(k＋1)＋1,且a₁＋a₂＋……＋a_k＝2k＋1－a_k

∴2k＋1－a_k＋2a_k＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

∴2a_k＋1＝2＋2－,  a_k＋1＝2－,  即當(dāng)n＝k＋1時(shí),命題成立. ……15分

根據(jù)①②得n∈N⁺  , a_n＝2－都成立  ……16分

思路分析：第一問利用S_n＋a_n＝2n＋1，遞推得到a₁＝, a₂＝, a₃＝, 猜測(cè) a_n＝2－

第二問中，1）已得當(dāng)n＝1時(shí)，命題成立；

②假設(shè)n＝k時(shí),命題成立，即 a_k＝2－,當(dāng)n＝k＋1時(shí), a₁＋a₂＋……＋a_k＋a_k＋1＋a_k＋1＝2(k＋1)＋1,且a₁＋a₂＋……＋a_k＝2k＋1－a_k

∴2k＋1－a_k＋2a_k＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

∴2a_k＋1＝2＋2－,  a_k＋1＝2－

綜上可知成立。