Question

設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且時(shí)，取極小值。

（1）求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，圖像上是否存在兩點(diǎn)，使得此兩點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直？證明你的結(jié)論。

（3）若，求證：。

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

 ∴對(duì)任意實(shí)數(shù)，有

∴，

即恒成立。

∴

∴，

∵時(shí)，取極小值

∴，

∴。

（2）當(dāng)時(shí)，圖像上不存在這樣的兩點(diǎn)使結(jié)論成立。

假設(shè)圖像上存在兩點(diǎn)，使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直，

則由

知兩點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率分別為（*）

∵

∴與（*）矛盾。

（3）∵

令得，

∵或時(shí)，，

時(shí)，

∴在[－1，1]上是減函數(shù)，且，

∴在[－1，1]上，，

∴時(shí)，。