Question

已知多面體中，平面，平面，，，為的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的余弦值的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）直線與平面所成角的余弦值為.

【解析】

試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明平面，進(jìn)而得到；（2）法一是利用四邊形為平行四邊形得到，于是得到點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等，證明平面，由于點(diǎn)為的中點(diǎn)，由中位線原理得到點(diǎn)到平面的距離為線段長度的一半，于是計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)直線與平面所成角的原理計(jì)算出直線與平面所成角的正弦值，進(jìn)一步求出該角的余弦值；法二是分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出直線與平面所成角的正弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出這個(gè)角的余弦值.

試題解析：（1）如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、、，

、分別為、的中點(diǎn)，則，

由于平面，平面，，

又，，，，所以，平面，

平面，，

，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，

，平面，

平面，；

（2）法一：由（1）知，故四邊形為平行四邊形，，

故點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，如下圖所示，連接、，

取的中點(diǎn)，連接，

由于平面，且平面，，

，

同理，，

因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，，

由于，故為等邊三角形，

為的中點(diǎn)，，，

由于四邊形為平行四邊形，所以，，，

，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004314547039405/SYS201403200432339234106997_DA.files/image068.png">，平面，

、分別為、的中點(diǎn)，，平面，

且，故點(diǎn)到平面的距離為，

設(shè)直線與平面所成的角為，則，

，故直線與平面所成角的余弦值為；

法二：分別以、、為、、軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，

設(shè)平面的法向量為，則，

設(shè)，則，，

設(shè)直線與平面所成角為，則，

所以直線與平面所成角的余弦值為；

考點(diǎn)：1.直線與平面垂直；2.直線與平面所成的角；3.空間向量法