Question

已知點P為圓周x²+y²=4的動點，過P點作PH⊥x軸，垂足為H，設線段PH的中點為E，記點E的軌跡方程為C，點A（0，1），
（1）求動點E的軌跡方程C；
（2）若斜率為k的直線l經過點A（0，1）且與曲線C的另一個交點為B，求△OAB面積的最大值及此時直線l的方程；
（3）是否存在方向向量的直線l，使得l與曲線C交與兩個不同的點M，N，且有？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）設E（x，y），則P（x，2y），
而P點在圓上，
所以；
（2），
而，
故當時，△OAB面積的最大值為1，
此時，直線l的方程為：。
（3）假設存在符合題設條件的直線l，設其方程為：y=kx+m，
，MN的中點，
于是，
，
，………………………………………①
而，
故，
，
而，
故，
可得：，…………………………………②
由①②得：，
故。