Question

已知橢圓：．
（Ⅰ）若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為和，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點(diǎn)．設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當(dāng)d=1時(shí)的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為和，
∴2a=4，a=2，2c=2，c=，
∴橢圓的方程：
（Ⅱ）由橢圓的對(duì)稱性知：PRQS為菱形，原點(diǎn)O到各邊距離相等
（1）當(dāng)P在y軸上時(shí)，易知R在x軸上，此時(shí)PR方程為，d=1?．
（2）當(dāng)P在x軸上時(shí)，易知R在y軸上，此時(shí)PR方程為，d=1?．
（3）當(dāng)P不在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)PQ斜率為k，P（x₁，kx₁）、
P在橢圓上，①；
R在橢圓上，②
利用Rt△POR可得　d|PR|=|OP|•|OR|
即　
整理得　．再將①②代入，得
綜上當(dāng)d=1時(shí)，有．
分析：（Ⅰ）由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為和，知2a=4，2c=2，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由橢圓的對(duì)稱性知：PRQS為菱形，原點(diǎn)O到各邊距離相等．當(dāng)P在y軸上時(shí)，R在x軸上，PR方程為，．當(dāng)P在x軸上時(shí)，R在y軸上，PR方程為，．當(dāng)P不在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)PQ斜率為k，P（x₁，kx₁）、，P在橢圓上，，R在橢圓上，．利用Rt△POR得d|PR|=|OP|•|OR|，由此得．故當(dāng)d=1時(shí)，有．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意分類討論思想的合理運(yùn)用．