如圖,在三棱錐中,
,
,
為
的中點(diǎn),
為
的中點(diǎn),且
為正三角形.
(1)求證:平面
;
(2)若,
,求點(diǎn)
到平面
的距離.
(1)詳見解析;(2).
【解析】
試題分析:(1)由等腰三角形三線合一得到,由中位線得到
,從而得到
,利用
并結(jié)合直線與平面垂直的判定定理證明
平面
,從而得到
,再結(jié)合
以及直線與平面垂直的判定定理證明
平面
;(2)解法一是利用(1)中的條件得到
平面
,以點(diǎn)
為頂點(diǎn),
為底面計(jì)算三棱錐
的體積,然后更換頂點(diǎn),變成以點(diǎn)
為頂點(diǎn),
為底面來計(jì)算三棱錐
,利用等體積法
從而計(jì)算三棱錐
的高,即點(diǎn)
到平面
的距離;解法二是作
或其延長線于點(diǎn)
,然后證明
平面
,從而得到
的長度為點(diǎn)
到平面
的距離,進(jìn)而計(jì)算
的長度即可.
試題解析:(1)證明:在正中,
是
的中點(diǎn),所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image014.png">是的中點(diǎn),
是
的中點(diǎn),所以
,故
.
又,
,
、
平面
,
所以平面
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image034.png">平面,所以
,
又,
,
、
平面
,
所以平面
;
(2)解法1:設(shè)點(diǎn)到平面
的距離為
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image043.png">,是
的中點(diǎn),所以
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image026.png">為正三角形,所以,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image046.png">,,所以
,
所以,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image050.png">,
由(1)知,所以
,
在中,
,
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image055.png">,所以,
即,所以
.
故點(diǎn)到平面
的距離為
.
解法2:過點(diǎn)作直線
的垂線,交
的延長線于點(diǎn)
,
由(1)知,平面
,
,
所以平面
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image062.png">平面,所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image064.png">,所以平面
.
所以為點(diǎn)
到平面
的距離.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image043.png">,是
的中點(diǎn),所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image026.png">為正三角形,所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image027.png">為的中點(diǎn),所以
.
以下給出兩種求的方法:
方法1:在△中,過點(diǎn)
作
的垂線,垂足為點(diǎn)
,
則.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image069.png">,
所以.
方法2:在中,
.
①,
在△
中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image046.png">,
所以,
即.
②,
由①,②解得.故點(diǎn)
到平面
的距離為
.
考點(diǎn):1.直線與平面垂直;2.點(diǎn)到平面的距離;3.等體積法
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆廣西玉林市高二下學(xué)期三月月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,在三棱錐中,側(cè)面
與側(cè)面
均為等邊三角形,
,
為
中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值. (本題12分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省臺州市高三上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
如圖,在三棱錐中,
兩兩垂直且相等,過
的中點(diǎn)
作平面
∥
,且
分別交
于
,交
的延長線于
.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)若,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011---2012學(xué)年四川省高二10月考數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
如圖:在三棱錐中,已知點(diǎn)
、
、
分別為棱
、
、
的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:∥平面
;
(Ⅱ)若,
,求證:平面
⊥平面
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:黑龍江省2013屆高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理) 題型:解答題
如圖,在三棱錐中,
,
為
中點(diǎn)。(1)求證:
平面
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)
,使二面角
的平面角的余弦值為
?若存在,確定
點(diǎn)位置;若不存在,說明理由。
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