Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是的極大值點(diǎn)，求的值；

（2）若在上只有一個零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)首先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后通過極大值點(diǎn)所對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)值為0即可求出的值，最后通過檢驗(yàn)即可得出結(jié)果；

(2)首先可以設(shè)方程并寫出方程的導(dǎo)函數(shù)，然后將在上只有一個零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為在上只有一個零點(diǎn)，再利用方程的導(dǎo)函數(shù)求出方程的最小值，最后對方程的最小值與0之間的關(guān)系進(jìn)行分類討論即可得出結(jié)果。

(1)，

因?yàn)?/span>是的極大值點(diǎn)，所以，解得，

當(dāng)時，，，

令，解得，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，又，

所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，

故是的極大值點(diǎn)；

(2)令，，

在上只有一個零點(diǎn)即在上只有一個零點(diǎn),

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以.

（Ⅰ）當(dāng)，即時，時，在上只有一個零點(diǎn)，即在上只有一個零點(diǎn).

（Ⅱ）當(dāng)，即時，取，，

①若，即時，在和上各有一個零點(diǎn)，即在上有2個零點(diǎn)，不符合題意；

②當(dāng)即時，只有在上有一個零點(diǎn)，即在上只有一個零點(diǎn)，

綜上得，當(dāng)時，在上只有一個零點(diǎn)。