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已知橢圓經(jīng)過點（0，），離心率為，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點F交橢圓于A、B兩點，點A、F、B在直線x=4上的射影依次為點D、K、E.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且，當直線l的傾斜角變化時，探求 的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說明理由；

（Ⅲ）連接AE、BD，試探索當直線l的傾斜角變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由.

 

 

 

【答案】

(Ⅰ)依題意得b=，，，∴ a=2，c=1，

   ∴ 橢圓C的方程.………………3分

(Ⅱ)因直線l與y軸相交，故斜率存在，設(shè)直線l方程為：，求得l與y軸交于M(0，-k)，又F坐標為 (1，0)，設(shè)l交橢圓于，

由 消去y得，

，………5分

又由  ∴，

同理， ，

…………………7分

所以當直線l的傾斜角變化時，的值為定值.………………8分

（Ⅲ）當直線l斜率不存在時，直線l⊥x軸，則為矩形，由對稱性知，AE與BD相交于FK的中點，猜想，當直線l的傾斜角變化時，AE與BD相交于定點，

證明：由（Ⅱ）知，，

當直線l的傾斜角變化時，首先證直線AE過定點

，

當時，

.  …………………11分

∴點在直線上，同理可證，點也在直線上；

∴當m變化時，AE與BD相交于定點， 

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2013屆湖北武漢部分重點中學（五校）高二下期中文科數(shù)學卷（解析版） 題型：解答題

（14分）已知橢圓經(jīng)過點（0，1），離心率。

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為。

①試建立 的面積關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系；

②某校高二（1）班數(shù)學興趣小組通過試驗操作初步推斷；“當m變化時，直線與x軸交于一個定點”。你認為此推斷是否正確？若正確，請寫出定點坐標，并證明你的結(jié)論；若不正確，請說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年浙江省高三上學期期中考試數(shù)學文卷 題型：解答題

（本小題滿分15分）已知橢圓經(jīng)過點（0，1），離心率

（I）求橢圓C的方程；

（II）設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為A’．試問：當m變化時直線與x軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點坐標，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分13分）已知橢圓經(jīng)過點（0，），離心率為，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點F交橢圓于A、B兩點，點A、F、B在直線x=4上的射影依次為點D、K、E.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且，當直線l的傾斜角變化時，探求 的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說明理由；

（Ⅲ）連接AE、BD，試探索當直線l的傾斜角變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分14分）

已知橢圓經(jīng)過點（0，），離心率為，經(jīng)過橢圓C的右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，點A、F、B在直線x=4上的射影依次為點D、K、E.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l交y軸于點M，且，當直線l的傾斜角變化時，探求的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說明理由；

（3）連接AE、BD，試探索當直線l的傾斜角變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由.

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