Question

【題目】如圖所示，已知是正三角形，若平面，平面平面，且．

（1）求證：平面；

（2）若平面，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由面面垂直性質(zhì)知平面，可知，由線(xiàn)面平行判定可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)垂直關(guān)系可以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的向量求法可求得結(jié)果.

（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，，又平面，平面；

（2），，，，，

平面，，

，，是的中點(diǎn)，

，連結(jié)，則，平面，

，，四邊形是矩形，．

以為原點(diǎn)，、、所在的直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，，，

，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，取，則，，，

取平面的一個(gè)法向量為，

，

二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.