Question

（本小題滿分13分）隨著石油資源的日益緊缺，我國(guó)決定建立自己的石油儲(chǔ)備基地，

已知某石油儲(chǔ)備基地原儲(chǔ)有石油噸，按計(jì)劃正式運(yùn)營(yíng)后的第一年進(jìn)油量為已儲(chǔ)油量的25%，以后每年的進(jìn)油量均為上一年底儲(chǔ)油量的25%，且每年年內(nèi)用出噸，設(shè)為正式運(yùn)營(yíng)后第年年底的石油儲(chǔ)量．（Ⅰ）求、、；                                   （Ⅱ）猜測(cè)出的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法予以證明；（Ⅲ）為抵御突發(fā)事件，該油庫(kù)年底儲(chǔ)油量不得少于噸，如果噸，該油庫(kù)能否長(zhǎng)期按計(jì)劃運(yùn)營(yíng)？如果能，請(qǐng)加以證明；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（計(jì)算中可供參考的數(shù)據(jù)：，）

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）略（Ⅲ）5

解析:

（Ⅰ）依題意，油庫(kù)原有儲(chǔ)油量為a噸，則，

     ，

       ，…；……3分

       （Ⅱ）由（Ⅰ）猜測(cè)：對(duì)于任意正整數(shù)恒有

       ，

       下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

       1^o當(dāng)時(shí)，，猜測(cè)成立；……4分

       2^o假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，……5分

       那么，由，得，

       這就是說(shuō)當(dāng)時(shí)，猜測(cè)也成立，綜合1^o、2^o知，對(duì)于猜測(cè)都成立； 8分

       （Ⅲ）如果噸時(shí)，該油庫(kù)第年年底的儲(chǔ)油量不少于噸，

       ，∴≤3，                                    …………10分

       ∴=，

       說(shuō)明該油庫(kù)只能在5年內(nèi)運(yùn)營(yíng)，因此不能長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)．……13分

       本題考查數(shù)列知識(shí)、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用、不等式的解法和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，屬較難題．