Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線：上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線和線段的垂直平分線相交于點(diǎn)．

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

(2)過(guò)(1)中的軌跡上的定點(diǎn)作兩條直線分別與軌跡相交于，兩點(diǎn)．試探究：當(dāng)直線，的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，直線的斜率是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

(1) (2) 當(dāng)直線，的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，直線的斜率為定值

【解析】

試題分析：(1)由線段垂直平分線的性質(zhì)知, ,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線.易知其標(biāo)準(zhǔn)方程為.

設(shè)、，,可由點(diǎn)差法求出,

,

由直線，的傾斜角互補(bǔ)，得

定值

試題解析：(1)依題意，得 1分

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線 3分

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為 4分

(2)∵、，在拋物線上

∴ 5分

由①-②得，

∴直線的斜率為 7分

同理可得，直線的斜率為 9分

∴當(dāng)直線，的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，有

即

∴ 11分

由②-③得，

∴直線的斜率為 ④ 13分

將代入④，得

∴當(dāng)直線，的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，直線的斜率為定值 14分

考點(diǎn)：1、拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程；2、點(diǎn)差法的應(yīng)用.