Question

（07年寧夏、 海南卷理）（12分）

如圖，在三棱錐中，側面與側面

均為等邊三角形，，為中點．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

解析：證明：

（Ⅰ）由題設，連結，為等腰直角三角形，

所以，且，

又為等腰三角形，故，

且，從而．

所以為直角三角形，．

又．

所以平面．

（Ⅱ）解法一：

取中點，連結，由（Ⅰ）知，

得．

為二面角的平面角．

由得平面．

所以，又，

故．

所以二面角的余弦值為．

解法二：

以為坐標原點，射線分別為軸、軸的正半軸，

建立如圖的空間直角坐標系．

設，則．

的中點，．

．

故等于

二面角的平面角．

，

所以二面角的余弦值為．