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研究一下,是否存在一個三角形具有以下性質(zhì):

(1)三邊是連續(xù)的三個自然數(shù);

(2)最大角是最小角的2倍.

答案:略
解析:

設(shè)三角形三邊長分別是,n,三個角分別是,.由正弦定理,

,

所以,

由余弦定理,

,

化簡,得

,

所以,n0,或n5n0不合題意,舍去.n5.三角形的三邊分別是45,6.可以驗證此三角形的最大角是最小角的2倍.

  另解:先考慮三角形所具有的第一個性質(zhì):三邊是連續(xù)的三個自然數(shù).

  (1)三邊的長不可能是1,2,3.這是因為123,而三角形任何兩邊之和大于第三邊.

  (2)如果三邊分別是a2,b3c4

因為

在此三角形中,A是最小角,C是最大角,但是,

,

所以,

邊長為23,4的三角形不滿足條件.

  (3)如果三邊分別是a3,b4c5,此三角形是直角三角形,最大角是90°,最小角不等于45°,此三角形不滿足條件.

  (4)如果三邊是a4,b5c6.此時,

,

,

因為

,而,,

所以,

所以,邊長為45,6的三角形滿足條件.

  (5)當(dāng),三角形的三邊是an,bn1cn2時,三角形的最小角是A,最大角是C

cosAn的增大而減小,A隨之增大,cosCn的增大而增大,C隨之變。捎時有C2A,所以,時,不可能

  綜上可知,只有邊長分別為45,6的三角形滿足條件.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點是F(1,0),0為坐標(biāo)原點.
(Ⅰ)已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形,求橢圓的方程;
(Ⅱ)點M是直線l:x=4上的動點,以O(shè)M為直徑的圓過點N,且NF⊥OM,是否存在一個定點,使得N到該定點的距離為定值?并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•汕尾二模)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知an+1=2Sn+2(n∈N*)
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)在an與an+1之間插入n個數(shù),使這n+2個數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列(如:在a1與a2之間插入1個數(shù)構(gòu)成第一個等差數(shù)列,其公差為d1;在a2與a3之間插入2個數(shù)構(gòu)成第二個等差數(shù)列,其公差為d2,…以此類推),設(shè)第n個等差數(shù)列的和是An.是否存在一個關(guān)于n的多項式g(n),使得An=g(n)dn對任意n∈N*恒成立?若存在,求出這個多項式;若不存在,請說明理由;
(3)對于(2)中的數(shù)列d1,d2,d3,…,dn,…,這個數(shù)列中是否存在不同的三項dm,dk,dp(其中正整數(shù)m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列,若存在,求出這樣的三項;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•寶坻區(qū)一模)已知數(shù)列{an}滿足an=2•an-1+2n-1(n≥2),且a4=81.
(1)求數(shù)列的前三項:a1,a2,a3;
(2)是否存在一個實數(shù)λ,使得數(shù)列{
an2n
}
為等差數(shù)列?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由;
(3)求數(shù)列{an}的前n項和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•煙臺一模)已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和Sn,且滿足:a2•a4=65,a1+a5=18.
(1)若1<i<21,a1,ai,a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項,求i的值;
(2)設(shè)bn=
n(2n+1)Sn
,是否存在一個最小的常數(shù)m使得b1+b2+…+bn<m對于任意的正整數(shù)n均成立,若存在,求出常數(shù)m;若不存在,請說明理由.

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