【題目】 如圖,是等腰直角三角形,
,
,
分別為
的中點(diǎn),沿
將
折起,得到如圖所示的四棱錐
(1)求證:平面
;
(2)當(dāng)四棱錐體積取最大值時(shí),
(i) 寫(xiě)出最大體積;
(ii) 求與平面
所成角的大小.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)(i)最大體積為
;(ii)
.
【解析】
(1)由翻折前后的不變性,得,
,且
,可證得
;
(2)(i)當(dāng)面底面
時(shí),四棱錐
的體積達(dá)到最大;
(ii)當(dāng)四棱錐體積取最大值時(shí),可得
平面ABFE.,以
所在直線為
軸、
軸、
軸,建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo),求出平面
的一個(gè)法向量和
,再求兩個(gè)向量夾角的余弦值,進(jìn)而得到線面角的正弦值。
證明:(1)因?yàn)?/span>是等腰直角三角形,
,
分別為
的中點(diǎn),
所以,
,又因?yàn)?/span>
,
所以,因?yàn)?/span>
,
所以.
(2)(i) 當(dāng)面底面
時(shí),四棱錐
的體積達(dá)到最大,
則.
(ii) 因?yàn)樗睦忮F體積取最大值,所以
平面ABFE.
分別以所在直線為
軸、
軸、
軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
,
,
,
,
,
.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
,由
得,
取,得
.則
,
所以,所以
與平面
所成角的正弦值為
,
所以與平面
所成角的大小為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,,平面ABC外有一點(diǎn)
,點(diǎn)P到角的兩邊AC,BC的距離都等于
,則PC與平面ABC所成角的正切值為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,且對(duì)任意
,有
,且當(dāng)
時(shí),
,
(Ⅰ)證明是奇函數(shù);
(Ⅱ)證明在
上是減函數(shù);
(III)若,
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為:
(
為參數(shù)),在以
為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求曲線的普通方程和曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線與
交于
,
兩點(diǎn),點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為矩形,平面
平面
,
,
,
為
的中點(diǎn)..
(1)求證:平面平面
;
(2),在線段
上是否存在一點(diǎn)
,使得二面角
的余弦值為
.請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若定義在R上函數(shù)的圖象關(guān)于圖象上點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng),f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有
且f(3)=0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間
上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少有( )
A.2020個(gè)B.1768個(gè)C.1515個(gè)D.1514個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)為別為
,
,離心率是
. 橢圓
的左、右頂點(diǎn)分別記為
,
.點(diǎn)
是橢圓
上位于
軸上方的動(dòng)點(diǎn),直線
,
與直線
分別交于
,
兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程.
(Ⅱ)求線段長(zhǎng)度的最小值.
(Ⅲ)當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí),在橢圓
上的點(diǎn)
滿(mǎn)足:
的面積為
.試確定點(diǎn)
的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為
,過(guò)
的直線交
軸正半軸于點(diǎn)
,交拋物線于
兩點(diǎn),其中點(diǎn)
在第一象限.
(Ⅰ)求證:以線段為直徑的圓與
軸相切;
(Ⅱ)若,
,
,求
的取值范圍.
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