Question

（本小題滿分12分）已知四棱錐P—ABCD，
底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，點E為AB中點，點F為PD中點。  （1）證明平面PED⊥平面PAB；  （2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值。

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）

解法一（1）證明：連接BD.

為等邊三角形.
是AB中點，
面ABCD，AB面ABCD，
面PED，PD面PED，面PED。
面PAB，面PAB.
（2）解：平面PED，PE面PED，
連接EF，PED，
為二面角P—AB—F的平面角. 
設(shè)AD=2，那么PF=FD=1，DE=.   
在    
   
即二面角P—AB—F的平面角的余弦值為
解法二：如圖連結(jié)DE，則DE⊥DC，則可以以D為坐標原點，DE，DC，DP所在直線分別為x、y，z軸建立空間直角坐標系，設(shè)菱形ABCD的長為a，則:，
則P(0，0，)，F(xiàn)(0，0，)，A()，B()，()，()，(0，，0)
設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為
，令，可得
，令，可得
顯然，二面角P-AB-F的平面角是銳角與大小相等，
即二面角P-AB-F的平面角的余弦值為