Question

（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，斜三棱柱，已知側(cè)面與底面ABC垂直且∠BCA =90°，∠，=2，若二面角為30°.  （Ⅰ）證明；

（Ⅱ）求與平面所成角的正切值；
（Ⅲ）在平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使三棱錐為正三棱錐，并求P到平面距離.

Answer 1

(Ⅰ)  略 (Ⅱ)    （Ⅲ）

（1）　面面，因?yàn)槊?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823120513990335.gif" style="vertical-align:middle;" />面＝，，
所以面．
（2）取中點(diǎn)，連接，在中， 
是正三角形，，又面且面，
，即即為二面角的平面角為30°，
 面，，在　中，，  
又面，即與面所成的線(xiàn)面角，
在中，
�。�3）在上取點(diǎn)，使，則因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823120514770240.gif" style="vertical-align:middle;" />是的中線(xiàn)，是的重
心，在中，過(guò)作//交于， 面，//
面，即點(diǎn)在平面上的射影是的中心，該點(diǎn)即為所求，且，．