Question

已知在區(qū)間上是增函數(shù).
（1）求實(shí)數(shù)的值組成的集合；
（2）設(shè)關(guān)于的方程的兩個(gè)非零實(shí)根為、．試問：是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)任意及 恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）實(shí)數(shù)a的值組成的集合；
（2）存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)任意及 恒成立．

解析試題分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將條件在區(qū)間上為增函數(shù)這一條件轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象得到，從而解出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）先將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到與，然后利用
將用參數(shù)進(jìn)行表示，進(jìn)而得到不等式對(duì)任意
及恒成立，等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，將不等式
轉(zhuǎn)化為以為自變量的一次函數(shù)不等式恒成立，只需考慮相應(yīng)的端點(diǎn)值即可，從而解出參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/73/a/1qxyw3.png" style="vertical-align:middle;" />在區(qū)間上是增函數(shù)，
所以，在區(qū)間上恒成立，
，
所以，實(shí)數(shù)的值組成的集合；
（2）由 得，即，
因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e8/d/ilios1.png" style="vertical-align:middle;" />，即的兩個(gè)非零實(shí)根為、，
、是方程兩個(gè)非零實(shí)根，于是，，
，
，，
設(shè)，，
則，
若對(duì)任意及恒成立，
則，解得或，
因此，存在實(shí)數(shù)或，使得不等式對(duì)任意及恒成立.
考點(diǎn)：1.函數(shù)的單調(diào)性；2.二次函數(shù)的零點(diǎn)分布；3.韋達(dá)定理；4.主次元交換