Question

(2006北京海淀模擬)如下圖，直三棱柱中，

，AC⊥CB．D、E分別為棱、的中點．

(1)求點B到平面的距離；

(2)求二面角的大小；

(3)在線段AC上是否存在一點F，使得EF上平面?若存在，確定其位置并證明結(jié)論；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵為直三棱柱， ∴⊥底面ABC，∴． ∵AC⊥CB，∴BC⊥平面． ∴BC長度即為B點到平面的距離． ∵BC=2，∴點B到平面的距離為2． (2)分別延長AC，交于G． 過C作于M，連結(jié)BM． ∵BC⊥平面，∴CM為BM在平面內(nèi)的射影． ∴，∴∠CMB為二面角的平面角． 在平面中，，D為的中點，∴CG=2，DC=1． 在直角三角形CDG中， ∴，∴， 即二面角的大小為． (3)在線段AC上存在一點F，使得EF⊥平面 其位置為AC中點，證明如下： ∵為直三棱柱，∴． ∵由(1)BC⊥平面， ∴平面． ∵EF在平面內(nèi)的射影為， ∵F為AC中點，∴．∴． 同理可證EF⊥BD，∴EF⊥平面． ∵E為定點，平面為定平面， ∴點F唯一．