Question

【題目】已知橢圓：過點，且它的焦距是短軸長的倍.

（1）求橢圓的方程.

（2）若，是橢圓上的兩個動點（，兩點不關于軸對稱），為坐標原點，，的斜率分別為，，問是否存在非零常數(shù)，使當時，的面積為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在這樣的常數(shù)，此時.

【解析】

（1）將點的坐標代入橢圓方程，結合和列方程組，解方程組求得橢圓的標準方程.（2）設直線的方程為和兩點的坐標，將兩點兩點坐標代入，化簡得到①.聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，利用點到直線距離公式和弦長公式求得三角形的面積的表達式，結合①解得和的值.

解：（1）因為橢圓：過點，

所以，

又因為該橢圓的焦距是短軸長的倍，所以，從而.

聯(lián)立方程組，解得，所以.

（2）設存在這樣的常數(shù)，使，的面積為定值.設直線的方程為，點，點，則由知，，所以.①

聯(lián)立方程組，消去得.

所以，

點到直線的距離，

的面積.④

將②③代入①得，

化簡得，⑤

將⑤代入④得

，

要使上式為定值，只需，

即需，從而，此時，，

所以存在這樣的常數(shù)，此時.