Question

【題目】如圖所示，橢圓離心率為，、是橢圓C的短軸端點(diǎn)，且到焦點(diǎn)的距離為，點(diǎn)M在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)M不與、重合，點(diǎn)N滿足．

（1）求橢圓C的方程；

（2）求四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】 ； .

【解析】

根據(jù)離心率和的長度求得，從而得到橢圓方程；四邊形的面積可以表示為：，通過假設(shè)直線分別求得和，從而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解問題，從而得到結(jié)果.根據(jù)不同的假設(shè)直線的方式，會構(gòu)成不同的函數(shù)，得到不同的解法.

又且，解得：，

因此橢圓的方程為

法一：設(shè)，

，

直線……①；直線……②

由①②解得：

又

四邊形的面積

當(dāng)時(shí)，的最大值為

法二：設(shè)直線，則直線……①

直線與橢圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為

則直線的斜率為

直線……②

由①②解得：

四邊形的面積：

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值