Question

（2012•咸陽(yáng)三模）已知拋物線(xiàn)x²=4y，過(guò)點(diǎn)A（0，a）（其中a為正常數(shù)）任意作一條直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求

OM

•

ON

的值；
（2）過(guò)M，N分別作拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)l₁，l₂，試探求l₁與l₂的交點(diǎn)是否在定直線(xiàn)上，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線(xiàn)l方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式，即可求

OM

•

ON

的值；
（2）求導(dǎo)數(shù)，可得切線(xiàn)方程，聯(lián)立方程，即可得到l₁與l₂的交點(diǎn)在定直線(xiàn)y=-a上．

解答：解：（1）設(shè)直線(xiàn)l方程為y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

y=kx+a x2=4y

消去y得x²-4kx-4a=0，所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4a
∴y1y2=(kx1+a)(kx2+a)=k2x1x2+ak(x1+x2)+a=-4ak²+4ak²+a=a
故

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=-4a+a2．…（6分）
（2）求導(dǎo)數(shù)，可得y′=

1

2

x，設(shè)l₁方程為y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，整理得y=

1

2

x1x-

x 2 1

4

同理得l₂方程為y=

1

2

x2x-

x 2 2

4

…（9分）
聯(lián)立方程

y= 1 2 x1x- x 2 1 4 (1) y= 1 2 x2x- x 2 2 4 (2)

x₂×（1）-x₁×（2）得(x2-x1)y=

x1x2(x2-x1)

4

，∴y=

x1x2

4

=-a
故l₁與l₂的交點(diǎn)在定直線(xiàn)y=-a上．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，考查拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，確定切線(xiàn)的方程，屬于中檔題．