如圖所示,在三棱錐

中,

平面

,

,

分別是

的中點,

,

與

交于

,

與

交于點

,連接

。

(Ⅰ)求證:

;
(Ⅱ)求二面角

的余弦值。
(Ⅰ)見解析 (Ⅱ)

解法一 (Ⅰ)在

中,

分別是

的中點,則

是

的重心,

同理,

所以

,因此

又因為

是

的中位線,所以


.
(Ⅱ)解法1 因為

,所以

,又

,
所以

平面

,

平面

,

為二面角

的平面角,
不妨設

由三角形知識可得

由余弦定理得

解法2分別以

所在直線為

軸建立空間直角坐標系,不妨設

則

設平面

的法向量為

,則

,所以

,令

得

同理求得平面

的一個法向量為

,
因此

由圖形可知二面角

的余弦值為

解法二(Ⅰ)證明:因為

分別是

的中點,
所以

∥

,

∥

,所以

∥

,
又

平面

,

平面

,
所以

∥平面

,
又

平面

,平面

平面


,
所以

∥

,
又

∥

,
所以

∥

.
(Ⅱ)解法一:在△

中,

,

,
所以

,即

,因為

平面

,所以

,
又

,所以

平面

,由(Ⅰ)知

∥

,
所以

平面

,又

平面

,所以

,同理可得

,
所以

為二面角

的平面角,設

,連接

,
在

△

中,由勾股定理得,

,
在

△

中,由勾股定理得,

,
又

為△

的重心,所以

同理

,
在△

中,由余弦定理得

,
即二面角

的余弦值為

.
解法二:在△

中,

,

,
所以

,又

平面

,所以

兩兩垂直,
以

為坐標原點,分別以

所在直線為

軸,

軸,

軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,設

,則

,

,

,

,


,,所以

,

,

,

,
設平面

的一個法向量為

,
由

,

,
得

取

,得

.
設平面

的一個法向量為

由

,

,
得

取

,得

.所以

因為二面角

為鈍角,所以二面角

的余弦值為

.
【考點定位】本題考查了空間直線的位置關系的判定和二面角的求法,考查了空間想象能力、推理論證能力和運算能力。第一問主要涉及平面幾何的圖形性質(zhì),中點形成的平行線是?键c之一,論證較為簡單。第二問有兩種方法可以解決,因圖形結構的簡潔性,推理論證較為簡單,而利用空間向量運算求解二面角就相對復雜了.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在

中,

,

,

是

上的高,沿

把

折起,使

.
(Ⅰ)證明:平面

⊥平面

;
(Ⅱ)若

,求三棱錐

的表面積.

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖1,在等腰直角三角形

中,

,

,

分別是

上的點,

,

為

的中點.將

沿

折起,得到如圖2所示的四棱錐

,其中

.

(Ⅰ) 證明:

平面

;
(Ⅱ) 求二面角

的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
一個正方體的展開圖如圖所示,A、B、C、D為原正方體的頂點,則在原來的正方體中( )

A.

B.

C. AB與CD所成的角為

D. AB與CD相交
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在五面體

中,四邊形

是正方形,

平面

∥


(1)求異面直線

與

所成角的余弦值;
(2)證明:

平面

;
(3)求二面角

的正切值。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在直線三棱柱ABC—A
1B
1C
1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,異面直線A
1B與B
1C
1所成的角為60°.

(Ⅰ)求證:AC⊥A
1B;
(Ⅱ)設D是BB
1的中點,求DC
1與平面A
1BC
1所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,空間四邊形

的對棱

、

成

的角,且

,平行于

與

的截面分別交

、

、

、

于

、

、

、

.

(1)求證:四邊形

為平行四邊形;
(2)

在

的何處時截面

的面積最大?最大面積是多少?
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,已知AC⊥平面CDE,BD//AC,△ECD為等邊三角形,F(xiàn)為ED邊的中點,CD=BD=2AC=2

(1)求證:CF∥面ABE;
(2)求證:面ABE⊥平面BDE:
(3)求三棱錐F—ABE的體積。
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