Question

若存在常數(shù)k和b，使得函數(shù)f（x）和g（x）在它們的公共定義域上的任意實數(shù)x分別滿足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱直線l：y=kx+b為函數(shù)f（x）和g（x）的“隔離直線”．已知f（x）=x²，g（x）=2elnx．
（I）求F（x）=f（x）-g（x）的極值；
（II）函數(shù)f（x）和g（x）是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵F（x）=f（x）-g（x）=x²-2clnx（x＞0），
∴F′（x）=2x-=（2x²-2c）/x=
令F′（X）=0，得x=，
當(dāng)0＜x＜時，F(xiàn)′（X）＜0，X＞時，F(xiàn)′（x）＞0
故當(dāng)x=時，F(xiàn)（x）取到最小值，最小值是0
（2）由（1）可知，函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=處有公共點，因此存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設(shè)隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y-e=k（x-，即y=kx-k+e
由f（x）≥kx-k+e（x?R），可得x^2-kx-k+e，
由f（x）≥kx-k+e（x?R），可得x²-kx+k-e≥0當(dāng)x?R恒成立，
則△=k2-4k+4e=（k-2）^2≤0，只有k=2，此時直線方程為：y=2x-e，
下面證明g（x）≤2x-e^{exx＞0時恒成立
令G（x）=2}x-e-g（x）=2x-e-2elnx，
G′（X）=2-=（2x-2c）/x=2（x-）/x，
當(dāng)x=時，G′（X）=0，當(dāng)0＜x＜時G′（X）＞0，
則當(dāng)x=時，G（x）取到最小值，極小值是0，也是最小值．
所以G（x）=2x-e-g（x）≥0，則g（x）≤2x-e當(dāng)x＞0時恒成立．
∴函數(shù)f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線y=2x-e
分析：（1）根據(jù)求導(dǎo)公式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求極值
（2）由（1）可知，函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=處有公共點，因此存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設(shè)隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y-e=k（x-，即y=kx-k+e，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值
點評：考查函數(shù)的求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于簡單題，主要做題要仔細(xì)．