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已知正方形ABCD,E、F分別是邊AB、CD的中點,將△ADE沿DE折起,如圖所示,記二面角A-DE-C的大小為θ(0<θ<π)。
(1)證明BF∥平面ADE;
(2)若△ACD為正三角形,試判斷點A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上,證明你的結論,并求角θ的余弦值。
解:(1)證明:E、F分別是正方形ABCD的邊AB、CD的中點
∴ED∥FD,且EB=FD,
∴四邊形EBFD是平行四邊形,
∴EF∥ED
∵BD平面AED,而BF平面AED
∴BF∥平面AED。
(2)點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,
過點A作AG⊥平面BCDE,垂足為G,連結GC,GD
∵△ACD為正三角形
∴AC=AD,
∴GC=GD,
∴G在CD的垂直平分線上,
又∵EF是CD的垂直平分線
∴點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上
過G作GH⊥ED,垂足為H,連結AH,則AH⊥DE
∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG=θ
設原正方形ABCD的邊長為2a,連結AF
在折后圖的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,
∴△AEF為直角三角形,AG·EF=AE·AF,
∴AC=
在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE,
∴AH=,

。
練習冊系列答案
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已知正方形ABCD的邊長為2,點P為對角線AC上一點,則(
.
AP
+
.
BD
)•(
.
PB
+
.
PD
)的最大值為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知正方形ABCD邊長為1,則|
AB
+
BC
+
AC
|
=( 。
A、0
B、2
C、
2
D、2
2

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(Ⅰ)證明BF∥平面ADE;
(Ⅱ)若△ACD為正三角形,試判斷點A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上,證明你的結論,并求角θ的余弦值.

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(2)求二面角A-PB-D的大。

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