Question

若函數(shù)同時滿足：①對于定義域上的任意，恒有 ②對于定義域上的任意，當時，恒有，則稱函數(shù)為
“理想函數(shù)”。給出下列四個函數(shù)中：⑴    ⑵   ⑶ 
⑷ ，能被稱為“理想函數(shù)”的有_        _ （填相應的序號） 。

Answer 1

（4）

依題意，性質①反映函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)，性質②反映函數(shù)f（x）為定義域上的單調減函數(shù)，
⑴ 為定義域上的奇函數(shù)，但不是定義域上的單調減函數(shù)，其單調區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞），故排除（1）；
⑵  為定義域上的偶函數(shù)，排除（2）；
⑶ 定義域為R，由于y=2^x+1在R上為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，排除（3）；
⑷ ，的圖象如圖：

顯然此函數(shù)為奇函數(shù)，且在定義域上為減函數(shù)，故（4）為理想函數(shù)故答案為 （4）