Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】

（1）先求導(dǎo)得到，令，原命題等價(jià)于 在內(nèi)或恒成立，再分兩種情況討論得解；（2）先求出函數(shù)的最值，再對(duì)分三種情況討論得解.

（1），

令，要使在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，只需在內(nèi)，滿足或恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，

因?yàn)樵?/span>內(nèi)有，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在單調(diào)遞減，

綜上，的取值范圍為或.

（2）因?yàn)?/span>在上是減函數(shù)，

所以時(shí)，；時(shí)，，即，

①當(dāng)時(shí)，由（1）知在上遞減，所以，不合題意，

②當(dāng)時(shí)，由，

由（1）知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

所以，不合題意，

③當(dāng)時(shí)，，，

由題意可得，只需時(shí)，，即可，

由（1）知在上是增函數(shù)，，

又在上是增函數(shù)，則，，

而，，

只需，解得，

綜上的取值范圍是.