Question

【題目】動(dòng)點(diǎn)到距離與到直線的距離之比為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.

（1）求出曲線的方程，并求出的最小值，其中點(diǎn)

（2）是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且直線經(jīng)過定點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1），最小值為3；（2）存在，定點(diǎn).

【解析】

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由動(dòng)點(diǎn)到距離與到直線的距離之比為，利用直接法求出點(diǎn)的軌跡；又，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離；

（2）假設(shè)存在滿足題意的定點(diǎn)，設(shè)，設(shè)直線的方程為， ，，由消去，得，利用韋達(dá)定理以及，得直線與的斜率和為零，建立方程求解即可.

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，

由已知，可得，

化簡(jiǎn)得到軌跡的方程為：，

所以，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，最小值為3；

（2）假設(shè)存在滿足題意的定點(diǎn)，設(shè)，設(shè)直線的方程為， ，，

由消去，得，

由直線過橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線，故，

由韋達(dá)定理得：

，，

由，得直線與的斜率和為零，所以有：

，

，

故：，,

所以存在定點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)定點(diǎn)也符合題意，

綜上所述，定點(diǎn).