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(本小題滿分13分)

已知橢圓的兩焦點在軸上, 且兩焦點與短軸的一個頂點的連線構(gòu)成斜邊長為2的等腰直角三角形。

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)過點的動直線交橢圓C于A、B兩點,試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點Q,使得以AB為直徑的圓恒過點Q ?若存在求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。

 

【答案】

(Ⅰ).(Ⅱ)存在定點Q,則Q的坐標(biāo)只可能為

【解析】

試題分析:(Ⅰ)由橢圓兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形,

又斜邊長為2,即 故,

橢圓方程為.                    ……………(4分)

(Ⅱ)當(dāng)與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為;

當(dāng)與y軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為

,故若存在定點Q,則Q的坐標(biāo)只可能為(6分)

下證明為所求:

若直線斜率不存在,上述已經(jīng)證明.設(shè)直線,

,

,       ……………………(8分)

……(10分)

 

,即以AB為直徑的圓恒過點.      ………(13分)

注: 此題直接設(shè),得到關(guān)于的恒成立問題也可求解.

考點:本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系。

點評:中檔題,曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運用韋達定理。本題求橢圓、標(biāo)準(zhǔn)方程時,主要運用了橢圓的幾何性質(zhì)。(II)小題中,運用平面向量的數(shù)量積,“化證為算”,達到證明目的。

 

練習(xí)冊系列答案
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(本小題滿分13分)已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的最小正周期和最大值;

(2)在給出的直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.

(3)設(shè)0<x<,且方程有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍.

 

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(本小題滿分13分)已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).

(1)求的值;(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性;

(3)若對任意的,不等式恒成立,求k的取值范圍.

 

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(本小題滿分13分)已知集合, ,.

(1)求(∁; (2)若,求的取值范圍.

 

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(本小題滿分13分)如圖,正三棱柱的所有棱長都為2,的中點。

(Ⅰ)求證:∥平面;

(Ⅱ)求異面直線所成的角。www.7caiedu.cn           

 

 

 

 

 

 


[來源:KS5

 

 

 

 

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(本小題滿分13分)

已知為銳角,且,函數(shù),數(shù)列{}的首項.

(1) 求函數(shù)的表達式;

(2)在中,若A=2,,BC=2,求的面積

(3) 求數(shù)列的前項和

 

 

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