Question

（本小題滿分13分）

已知橢圓的兩焦點在軸上, 且兩焦點與短軸的一個頂點的連線構成斜邊長為2的等腰直角三角形。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點的動直線交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點Q，使得以AB為直徑的圓恒過點Q ?若存在求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）存在定點Q,則Q的坐標只可能為。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由橢圓兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,

又斜邊長為2,即 故,

橢圓方程為.                    ……………（4分）

（Ⅱ）當與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為;

當與y軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為

,故若存在定點Q,則Q的坐標只可能為（6分）

下證明為所求:

若直線斜率不存在,上述已經證明.設直線,

,

,       ……………………（8分）

……（10分）

 

,即以AB為直徑的圓恒過點.      ………（13分）

注: 此題直接設,得到關于的恒成立問題也可求解.

考點：本題主要考查橢圓標準方程，直線與橢圓的位置關系。

點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓、標準方程時，主要運用了橢圓的幾何性質。（II）小題中，運用平面向量的數(shù)量積，“化證為算”，達到證明目的。