2009年寧德市普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查
數(shù)學(xué)(文科)試卷
本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。本卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘。
注意事項(xiàng):
1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2.考生作答時(shí),將答案答在答題卡上。請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域(黑色線框)內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。
3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào);非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性(簽字)筆或碳酸筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。
4.保持答題卡卡面的清楚,不折疊、不破損,考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
參考公式:
錐體的體積公式:,其中
為底面面積,
為高;
球的表面積、體積公式:,
,其中
為球的半徑。
第I卷(選擇題 共60分)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1. 已知集合,則
A.
B.
C.
D.
R
2. 為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)
在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在
A. 第一象限 B.
第二象限 C.
第三象限 D.
第四象限
3. 已知命題,則下列命題正確的是
A.
B.
C.
D.
4. 已知一個(gè)算法的程序框圖如圖所示,當(dāng)輸出的結(jié)果為0時(shí),輸入的的值為
A.
1 B.
5. 函數(shù)的圖像大致是
6. 在平面直角坐標(biāo)系中有四個(gè)點(diǎn);,若向
內(nèi)隨機(jī)投擲一質(zhì)點(diǎn),則它落在
內(nèi)的概率為
A.
B.
C.
D.
7. 不等式組表示的平面區(qū)域的面積是
A.
B.
D.
2
8. 若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線
的右焦點(diǎn)重合,則
的值為
A.
3 B.
D.
9. 已知是不重合的平面,
是不重合的直線,則下列命題正確的是
A.
若則
B.
若
則
C. 若
則
D.
若
,則
10. 設(shè)函數(shù)的部分圖像如圖所示,則函數(shù)
的解析式為
A.
B.
C. D.
11. 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
A.
4 B.
12. 已知函數(shù),對(duì)于正實(shí)數(shù)
,有下列四個(gè)不等式:
①;②
;③
;
④。其中一定成立的不等式是
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
第II卷(非選擇題 共90分)
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分。把答案填寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)位置。
13. 直線被圓
截得的弦長(zhǎng)為
14. 某校為了解教師使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的情況,隨機(jī)抽取20名授課教師,調(diào)查了他們上學(xué)期使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的次數(shù),結(jié)果如莖葉圖所示。據(jù)此可估計(jì)該校上學(xué)期教師使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的次數(shù)在
內(nèi)的概率為
15. 設(shè)的內(nèi)角
所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為
,且
,則邊長(zhǎng)
16. 定義在上的函數(shù)
表示
的個(gè)位數(shù),例如
。數(shù)列
中,
,當(dāng)
時(shí),
則
三、解答題:本大題共6小題,共74分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程演算步驟。
17. (本小題滿分12分)
已知向量,函數(shù)
(I)
求函數(shù)的解析式;
(II)
求函數(shù)的最小正周期和最大值,并寫(xiě)出使函數(shù)取最大值時(shí)
的集合。
18. (本小題滿分12分)
一個(gè)多面體的直觀圖與三視圖如圖所示,分別是
中點(diǎn)
(I) 求此多面體的體積;
(II)
求證:
19. (本大題滿分12分)
已知數(shù)列的首項(xiàng)為2,點(diǎn)
在函數(shù)
的圖像上
(I)
求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(II)
設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)之和為
,求
的值。
20. (本大題滿分12分)
為了解某校學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽的成績(jī)分布,從該校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生成績(jī)中抽取一個(gè)樣本,并分成5組,繪成頻率分布直方圖,從左到右各小組的小長(zhǎng)方形的高之比為1:2:2:20:5,最右邊一組的頻數(shù)是20,請(qǐng)結(jié)合直方圖的信息,解答下列問(wèn)題;
(I) 樣本容量是多少?
(II) 現(xiàn)用分層抽樣的方程在該樣本中抽取30個(gè)學(xué)生的成績(jī)作進(jìn)一步調(diào)查,問(wèn)成績(jī)?cè)?20分到150分的學(xué)生有幾個(gè)?
(III) 已知成績(jī)?cè)?20分到150分的學(xué)生中,至少有5個(gè)是男生,求成績(jī)?cè)?20分到150分的學(xué)生中,男生比女生多的概率。
21. (本大題滿分12分)
已知函數(shù)
(I)
若函數(shù)的圖像在點(diǎn)
處的切線與直線
平行,求實(shí)數(shù)
的值;
(II)
求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。
22. (本大題滿分14分)
已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在
軸上,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為1,離心率
,直線
與橢圓
交于不同的兩點(diǎn)
(I)
求橢圓的方程;
(II)
求線段的垂直平分線在
軸上的截距的取值范圍;
(III)
試問(wèn):在
軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)
,使
為定值?若存在,求出這個(gè)定點(diǎn)
的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
2009年寧德市高三質(zhì)檢查
說(shuō)明:
一、本解答指出了每題要考察的主要知識(shí)和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如
果考生的解法與本解法不同,可根據(jù)試題的主要考察內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)
則。
二、對(duì)計(jì)算題,當(dāng)考生的解答在某一部分解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度,可視影響的程
度決定后繼部分的給分,但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半;如果后繼部分的解答
有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤,就不再給分。
三、解答右端所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。
四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù),選擇題和填空題不給中間分。
一、選擇題:本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算,每小題5分,滿分60分。
1.B 2.A 3.B 4.A 5.B 6.C 7.A 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D
二、填空題:本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算,每小題4分,滿分16分。
13.1 14.
15.5 16.8
三、解答題:本大題共6小題,滿分74分,解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟。
17.本題主要考查平面向量的數(shù)量積,兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,滿分12分。
解:
(I)
………………………………………2分
即函數(shù)的解析式為
?????????????????????????????????????? 4分
(Ⅱ) ??????????????????????????????????????? 6分
所以函數(shù)最小正周期
???????????????????????????????????????????????????? 8分
當(dāng)即
時(shí)
取最大值
,?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
使函數(shù)取最大值的
的集合為
???????????????????????????????? 12分
18.本題主要考查空間幾何體的直觀圖、三視圖,空間線面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí);考察空間想象能力及推理論證能力,滿分12分。
解(I)由三視圖知這個(gè)多面體是一個(gè)水平放置的柱體,它的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形,側(cè)棱垂直于底面且長(zhǎng)為
2分
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
(Ⅱ)連結(jié)
四邊形
是平行四邊形,
過(guò)點(diǎn)
。
為
的中點(diǎn),………………………………………8分
又是
的中點(diǎn),
,
平面
平面
平面
…………………………………………12分
19.本題主要考等差數(shù)列、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí):考查推理論證與運(yùn)算求解能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,滿分12分。
解(I)點(diǎn)
在函數(shù)
的圖象上,
數(shù)列
是以首項(xiàng)為2公差為2的等差數(shù)列,???????????????????????????????????????? 2分
?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
(Ⅱ)????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
,????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
???????????????????????? 10分
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
20.本題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí)。
滿分12分。
解:(I)設(shè)樣本容量為,則
,所以
所以樣本的容量為120???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
(Ⅱ)設(shè)成績(jī)?cè)?20分到150分的學(xué)生有個(gè),
則,所以
????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
(Ⅲ)設(shè)成績(jī)?cè)?20分到150分的學(xué)生中,男生比女生多的事件記為A,男生數(shù)與女生書(shū)記為數(shù)對(duì)(),則基本事件有:(5,15),(6,14),(7,13),(8,12),(9,11),
(10,10),(11,9),(12,8),(13,7),(14,6),(15,5),(16,4),(17,3),
(18,2),(19,1),(20,0),共16對(duì)????????????????????????????????????????????????? 9分
而事件A包含的事件有:(11,9),(12,8),(13,7),(14,6),(15,5),(16,4),
(17,3),(18,2),(19,1),(20,0)共10對(duì)。
所以??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
21.本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力及數(shù)形結(jié)合思想。滿分12分。
解:(I)
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
依題意得??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
(Ⅱ)
等價(jià)于
???????????????????????????????????????????????????? 6分
①當(dāng)時(shí)
恒成立,
的單調(diào)遞增區(qū)間為
?????????????????????????????????????????????????????????? 8分
②當(dāng)時(shí),由
得
的單調(diào)遞增區(qū)間為
?????????????????????????????????????????????????????? 11分
綜上所述:當(dāng)時(shí)
的單調(diào)遞增區(qū)間為
;
當(dāng)時(shí),
的單調(diào)遞增區(qū)間為
???????????????????????????????????????? 12分
22.本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想。滿分14分。
解:(I)設(shè)橢圓E的方程為
由已知得:
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
橢圓E的方程為
?????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
(Ⅱ)設(shè)
,線段
中點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,則:
由得
化簡(jiǎn)得:
……5分
直線
過(guò)點(diǎn)
而點(diǎn)在橢圓E內(nèi),
?????????????????????????????????????????????????????????? 6分
所以PQ中垂直的方程為:
所以直線在
軸上的截距
??????????????????????????????????????? 8分
??????????????????????????????????????????????????????????? 9分
(Ⅲ)假設(shè)存在符號(hào)條件的點(diǎn),則由(Ⅱ)得:
????????????????????????????????????????????????? 10分
????????????????????????? 11分
所以
?????????????????????????????????????????? 12分
設(shè)
即
對(duì)于任意實(shí)數(shù),上式恒成立,
所以????????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分
得
所以符合條件的點(diǎn)存在,其坐標(biāo)為
???????????????????????????????????????????? 14分
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