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練習冊

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試題

江西省南昌市2008―2009學年度高三第二輪復習測試（六）

數(shù) 學試題

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．（理）化簡得（）

A． B． C． D．

（文）若集合為（）

A．{1，2，3，4，5，6} B．{1，4，5，6}

C．{2，3} D．

2．已知α、β均為銳角，且等于（）

A．1 B． C． D．

3．若互不相等的實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，c、a、b成等比數(shù)列，且則a等于（）

A．4 B．2 C．―2 D．―4

4．已知函數(shù)軸負方向平移1個單位后，恰好與的解析式是（）

A． B．

C． D．

5．若不等式的最小值是（）

A． B．―2 C．―3 D．0

6．已知的夾角為（）

A． B． C． D．

7．（理）設的值為（）

A．1 B．2 C．4 D．0

（文）若則（）

A． B． C． D．

8．（理）若函數(shù)上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍（）

A． B． C． D．

（文）函數(shù)是（）

A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)

C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)

①P是△A₁BD的重心

②AP也垂直于面CB₁D₁

③AP的延長線必通過點C₁

④AP與面AA₁D₁D所成角為45°

其中，正確的命題是（）

A．①② B．①②③

C．②③④ D．①③④

10．將4個不相同的球放入編號為1、2、3的3個盒子中，當某盒子中球的個數(shù)等于該盒子的編號時稱為一個匹配，則恰好有2個匹配的概率為（）

A． B． C． D．

11．函數(shù)，在區(qū)間[1，2]上，處分別取得最小值和最大值，則的值可能是（）

A． B．

C． D．

12．設則的最大值為（）

A．16 B．17 C．18 D．20

13．（理）不等式的解集是。

（文）不等式的解集是。

14．如圖，正方體AC₁的棱長為2，M在AA₁上，N在B₁D₁上，

且AM=D₁N，則四面體AMB₁N體積的最大值為。

15．（理）如果P₁，P₂，…，P₈是拋物線上的點，它們的橫坐標依次為，F(xiàn)是拋物線的焦點，若= 。

（文）過拋物線上點M的切線的斜率為l，則此切線與x軸交點的坐標為。

16．命題

命題

則復合命題①“p或q”，②“p且q”，③“非p”中真命題是。

三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17．（本題滿分12分）

已知A，B是△ABC的兩個內(nèi)角，是互相垂直的單位向量），若

（1）試問是否為定值，若是定值，請求出，否則請說明理由；

（2）求的最大值，并判斷此時三角形的形狀。

18．（本小題滿分12分）

（理）袋中有編號為1，2，3，4的四個小球，每次從袋中取出一個球，然后加入一個新的沒有編號的球，共取球四次，用ξ表示經(jīng)過四次取球后袋中剩余的帶有編號的球的個數(shù)。試求：

（1）ξ的分布列；

（2）ξ的數(shù)學期望Eξ。

（文）袋中有編號為1，2，3，4的四個小球，每次從袋中取出一個球，然后加入一個新的沒有編號的球，共取球四次。試求：

（1）經(jīng)過四次取球后袋中沒有帶有編號的球的概率；

（2）經(jīng)過四次取球后袋中至少有2個帶有編號的球的概率。

19．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)取極值。

（1）求實數(shù)k的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若的取值范圍。

20．（本小題滿分12分）

如圖，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AB=AC=，BC=2，AA₁=4，P是側棱CC₁上一點。

（1）若P是側棱CC₁的中點，求異面直線PB₁與AC所成的角；

（2）若P是側棱CC₁的中點，求B₁到面PAB的距離；

（3）試確定P點在側棱CC₁上的位置，使平面PAB⊥平面PA₁B₁。

21．（本題滿分12分）

（理）中心在原點的雙曲線C₁的一個焦點與拋物線的焦點F重合，拋物線C₂的準線l與雙曲線C₁的一個交點為A，且|AF|=5。

（1）求雙曲線C₁的方程；

（2）若過點的直線m與雙曲線C₁相交于不同兩點M，N，且

①求直線m的斜率k的變化范圍；

②當直線m的斜率不為0時，問在直線

若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由。

（文）P是雙曲線上的動點，若P到右焦點F的最短距離為a。

（1）求雙曲線方程；

（2）過焦點F作與漸近線垂直的直線l交雙曲線于M，N兩點，求|FM|?|FN|的值。

22．（本題滿分14分）

設向量上的最小值與最大值的和為

（1）求證：；

（2）求的表達式；

（3）中，是否存在正整數(shù)k，使得對于任意的正整數(shù)n，都有成立？證明你的結論。

一、選擇題

1―5 CADBA 6―10 CBABD 11―12 CC

二、填空題

13．（理）（文）（―1，1） 14． 15．（理）18（文）（1，0）

16．①③

三、解答題

17．解：（1）由題意得 ………………2分

（2）由可知A、B都是銳角， …………7分

這時三角形為有一頂角為120°的等腰三角形 …………12分

18．（理）解：（1）ξ的所有可能的取值為0，1，2，3。 ………………2分

（2） ………………12分

（文）解：（1）； ………………6分

（2）因為

…………10分

所以 …………12分

19．解：（1）， ………………1分

依題意知， ………………3分

（2）令 …………4分

…………5分

所以，…………7分

（3）由上可知

①當恒成立，

必須且只須， …………8分

，

則 ………………9分

②當……10分

要使當

綜上所述，t的取值范圍是 ………………12分

20．解法一：（1）取BB₁的中點D，連CD、AD，則∠ACD為所求�！�1分

（2）方法一作CE⊥AB于E，C₁E₁⊥A₁B₁于E₁，連EE₁，

則AB⊥面CC₁E₁E，因此平面PAB⊥面CC₁E₁E。

因為A₁B₁//AB，所以A₁B₁//平面PAB。則只需求點E₁到平面PAB的距離。

作E₁H⊥EP于H，則E₁H⊥平面PAB，則E₁H即為所求距離。 …………6分

求得 …………8分

方法二：設B₁到平面PAB的距離為h，則由

得 ………………8分

（3）設平面PAB與平面PA₁B₁的交線為l，由（2）知，A₁B₁//平面PAB，

則A₁B₁//l，因為AB⊥面CC₁E₁E，則l⊥面CC₁E₁E，

所以∠EPE₁就是二面有AB―P―A₁B的平面角。 ………………9分

要使平面PAB⊥平面PA₁B₁，只需∠EPE₁=90°。 ………………10分

在矩形CEE₁C₁中，

解得

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解法二：（1）取B₁C₁的中點O，則A₁O⊥B₁C₁，

以O為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖，

（2）是平面PAB的一個法向量，

………………5分

令 ………………6分

又 ………………8分

（3）設P點坐標為（），則

設是平面PAB的一個法向量，與（2）同理有

令

同理可求得平面PA₁B₁的一個法向量 ………………10分

要使平面PAB⊥平面PA₁B₁，只需則

………………11分

解得： …………12分

21．（理）解：（1）由條件得

（2）①設直線m ……5分

②不妨設M，N的坐標分別為

…………………8分

因直線m的斜率不為零，故

（文）解：（1）設 …………2分

故所求雙曲線方程為：

（2）設，

由焦點半徑， ………………8分

22．（1）證明：

所以在[0，1]上為增函數(shù)， ………………3分

（2）解：由

（3）解：由（1）與（2）得 …………9分

設存在正整數(shù)k，使得對于任意的正整數(shù)n，都有成立，

………………10分

， ………………11分

當， ………………12分

當 ………………13分

所在存在正整數(shù)

都有成立. ………………14分

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