湖南省長(zhǎng)沙一中2008-2009學(xué)年高三第八次月考
數(shù) 學(xué)(文科)
本試卷共3大題21小題,全卷總分150分,考試時(shí)間120分鐘.
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.設(shè)集合,
,則
( )
A. B.
C.
D.
2.在抽查某產(chǎn)品尺寸過(guò)程中,將其尺寸分成若干組,[a,b]是其中的一組
已知該組上的直方圖的高為h,則該組的頻率為
A. B.
C.
D.
3.函數(shù)的反函數(shù)為( )
A. B.
C.
D.
4.若-1<<
<1,則下列不等式中恒成立的是(
)
A.-1<-
<1 B.-2<
-
<-1
C.-2<-
<0 D.-1<
-
<0
5.的各項(xiàng)系數(shù)之和大于8且小于32,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是( )
8.已知三棱錐D―ABC的三個(gè)側(cè)面均與底面全等,且AB=AC=
,BC=2,則二面角D-BC-A為 ( )
A.300 B.
9.如圖,是判斷年份Y是否閏年的流程,則以下年份是閏年的是
A .2009 B .2100
C .1996 D. 2007
10.已知函數(shù)
表示過(guò)原點(diǎn)的曲線,且在
處的切線斜率均為-1,有以下命題
①f(x)的解析式為:f(x)=x3-4x,x∈[-2,2];
②f(x)的極值點(diǎn)有且僅有一個(gè);
③f(x)的最大值與最小值之和等于零;
其中正確的命題個(gè)數(shù)為
A. 0 B.
橫線上)
二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.將答案填在題中的
11.已知向量,且
,則
__________.
12. 有兩排座位,前排11個(gè)座位,后排12個(gè)座位,現(xiàn)安排2人就坐,規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐,并且這兩人不左右相鄰,那么不同的排法種數(shù)是
13.若以連續(xù)擲兩次骰子所得的點(diǎn)數(shù)x,y為點(diǎn)P的坐標(biāo),則點(diǎn)P落在圓的內(nèi)部的概率是
.
14.已知,
若
,則
,滿足條件
的其中一個(gè)元素是
.(只寫出一個(gè)即可).
15 . 歐美等國(guó)家流行一種“數(shù)獨(dú)”推理游戲,其游戲規(guī)則如下:
4
9
A
3
5
7
2
6
3
5
4
2
8
6
9
1
7
6
9
3
5
4
2
8
9
C
B
5
1
2
8
7
6
4
①在9×9的九宮格子中,分成9個(gè)3×3的小九宮格,用1到9這9個(gè)數(shù)字填滿整個(gè)格子;
②每一行與每一列都有1到9的數(shù)字,每個(gè)小九 宮格里也有1到9的數(shù)字,并且一個(gè)數(shù)字在每行、每列及每個(gè)小九宮格里只能出現(xiàn)一次,既不能重復(fù)也不能少. 那么A處應(yīng)填入的數(shù)字為 ;B處應(yīng)填入的數(shù)字為 ;C處應(yīng)填入的數(shù)字為________.
三、解答題(本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
16.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)R.
(Ⅰ)求函數(shù)的最大值;
(Ⅱ)試說(shuō)明函數(shù)的圖像可由函數(shù)
R的圖像經(jīng)過(guò)怎樣變換得到?
17.(本小題滿分12分)
2008年中國(guó)北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物由5個(gè)“中國(guó)福娃”組成,分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮,F(xiàn)有8個(gè)相同的盒子,每個(gè)盒子中放一個(gè)福娃,每種福娃的數(shù)量如下表:
福娃名稱
貝貝
晶晶
歡歡
迎迎
妮妮
數(shù) 量
2
2
2
1
1
從中隨機(jī)地選取5只.
(Ⅰ)求選取的5只福娃恰好組成完整“奧運(yùn)會(huì)吉祥物”的概率;
(Ⅱ)求選取的5只福娃距離組成完整“奧運(yùn)會(huì)吉祥物”至少差一種福娃的概率.
18.(本小題滿分12分)
如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體中,
是側(cè)棱
上的一點(diǎn),
.
(Ⅰ)試確定
,使直線
與平面
所成角的正切值為
;
(Ⅱ)在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)
,使得對(duì)任意的
,
在平面
上的射影垂直于
,并證明你的結(jié)論.
19.(本小題滿分13分)
已知,
(Ⅰ)若,求函數(shù)
在區(qū)間
的最大值與最小值;
20.(本大題滿分13分)
設(shè)等差數(shù)列、
的前n項(xiàng)和分別為
和
,
,且
,
;函數(shù)
是函數(shù)
的反函數(shù),且
(n∈N,n > 1),c1 = 1.
(1)求常數(shù)A的值及函數(shù)的解析式;
(2)求數(shù)列及
的通項(xiàng)公式;
(3)若,試求
21.(本小題滿分13分)
如圖,在矩形ABCD中,已知A(2,0)、C(-2,2),點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng),線段OP的垂直平分線交y軸于點(diǎn)E,點(diǎn)M滿足
(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡方程;
2. D. 由直方圖的意義即可直接求得結(jié)果.
3.
B.由知,函數(shù)
是奇函數(shù),排除C,D. 由
選B.
4. A. 顯然函數(shù)是偶函數(shù),排除C.函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,于是排除B.當(dāng)時(shí),函數(shù)
,其圖象可由函數(shù)
的圖象向左平移一個(gè)單位得到,故選A.
5.
C. 六個(gè)小組每小組4個(gè)隊(duì), 進(jìn)行單循環(huán)賽的比賽場(chǎng)次一共有 6,16個(gè)隊(duì)進(jìn)行淘汰賽比賽場(chǎng)次一共有
確定冠亞軍一共需比賽
場(chǎng)次, 故選C.
6.B.如圖所示,就是二面角
的平面角,由圖知
的取值范圍是
.
7. B. 依題意得,若
,則
于是
又
,解得
.
8. C. 因?yàn)?009于2007不能被4整除,先排除A.D.又2100不能被400整除,所以2100不是閏年,排除B.從而選C.
9. B.設(shè)首項(xiàng)為公差為
,則
。于是
過(guò)點(diǎn)
和
的直線斜率為
則過(guò)點(diǎn)
和
的直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)應(yīng)選B.
10.
D. 易知點(diǎn)B在第一或第四象限.設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與曲線C相切于點(diǎn), 則切線斜率為
,則
, 則切點(diǎn)為
,
要使視線不被C擋住,必須滿足
故選D.
11.6.由.
13.
.點(diǎn)P的坐標(biāo)有36種,而圓內(nèi)部點(diǎn)的坐標(biāo)必須滿足
則點(diǎn)P落在圓
的內(nèi)部的坐標(biāo)種數(shù)為8種,
所以由等可能事件的概率計(jì)算公式得所求概率為.
14.6.依題意得顯然函數(shù)
的最大值為6.
15. 1, 3, 1. A處在9×9的九宮格子中的第2行,第3列,按照1到9的數(shù)字在每一行只能出現(xiàn)一次知,A處不能填入3,5,7,9;按照1到9的數(shù)字在每一列中只能出現(xiàn)一次知,A處不能填入2,4,6,8,綜合知A處只能填入1.同理分析知C處只能填入1.B處只能填入3.
16(Ⅰ)
當(dāng)
,
即時(shí),
有最大值1.此時(shí)函數(shù)
的值最大,
最大值為
.
(Ⅱ) 將的圖像依次進(jìn)行如下變換:
1.把函數(shù)的圖像向下平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)
的圖像;
2.把得到的函數(shù)圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)
的圖像;
3.將函數(shù)的圖像向右平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,
就得到函數(shù)的圖像.
或按如下平移變換:
1.把函數(shù)的圖像向下平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)
的圖像;
2.將函數(shù)的圖像向右平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,就得到函數(shù)
的圖像.
3.把得到的函數(shù)圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的
倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)
的圖像
17.(I)由等可能事件的概率意義及概率計(jì)算公式得P==; 3分
(II)設(shè)選取的5只福娃恰好距離組成完整“奧運(yùn)會(huì)吉祥物”差一種福娃記為事件
A,差兩種福娃記為事件B, 依題意可知,所選5只福娃恰好距離組成完整“奧運(yùn)會(huì)
吉祥物”最多差2只,則
7分
10分
故選取的5只福娃距離組成完整“奧運(yùn)會(huì)吉祥物”至少差一種福娃的概率為
18.解法一:(1)如圖:
故
.所以
.又
.
故
故當(dāng)時(shí),直線
.
(Ⅱ)依題意,要在上找一點(diǎn)
,使得
.可推測(cè)
的中點(diǎn)
即為所求的
點(diǎn).因?yàn)?sub>
,所以
又,故
.
從而
解法二:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m),C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1), D1(0,0,1).
所以
又由的一個(gè)法向量.
則
依題意有:,解得
.
故當(dāng)時(shí),直線
.
(2)若在上存在這樣的點(diǎn)
,設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
,
則.依題意,對(duì)任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.等價(jià)于
,即
為
的中點(diǎn)時(shí),滿足題設(shè)的要求
19.(Ⅰ) ,由
得
,
所以.由
得
或
-2
-1
2
0
0
0
遞增
遞減
遞增
0
由上表知:在區(qū)間
上的最大值為
,最小值為
.
(Ⅱ)
的圖像為開口向上且過(guò)點(diǎn)
的拋物線,由條件
,
,即
得
20. (1)解:由知:
,
而,
,解得
2分
令,得
,即
R) 4分
(2)解:令,∴
,即
.
當(dāng)時(shí),
,
當(dāng)n≥2時(shí),.
綜合得: 6分
由題意:,變形得:
,
∴數(shù)列是以
為公比,
為首項(xiàng)的等比數(shù)列.
,即
. 9分
(3)解:當(dāng) (
N*)時(shí),
11分
當(dāng) (
N*)時(shí),
. 13分
21.(I)依題意,設(shè)P(t,2)(-2≤t≤2),M(x,y).
當(dāng)t=0時(shí),點(diǎn)M與點(diǎn)E重合,則M=(0,1);
當(dāng)t≠0時(shí),線段OP的垂直平分線方程為:
顯然,點(diǎn)(0,1)適合上式 .故點(diǎn)M的軌跡方程為x2=-4(y-1)( -2≤x≤2)
(II)設(shè)得x2+4k-2=0.
設(shè)Q(x1,y1)、R(x2,y2),則
,
.消去x2,得
.
解得
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