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遼寧省大連23中2009年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)秘笈8：

數(shù)學(xué)歸納法

試題詳情

2009年全國(guó)名校高三模擬試題分類匯編

圓錐曲線

試題詳情

海門實(shí)驗(yàn)學(xué)校08―09年度第一學(xué)期高二年級(jí)期中考試

化學(xué)試題（必修）  

 命題人：吳一平  2008-10-30

1、本試題供非化學(xué)班學(xué)生使用；滿分100，答題時(shí)間為60分鐘。

2、請(qǐng)將第Ⅰ卷選擇題答案填入答題卡中，第Ⅱ卷非選擇題答案直接填在試卷上。

第Ⅰ卷（選擇題  共69分）

試題詳情

2009年全國(guó)名校高三模擬試題分類匯編

 圓錐曲線

 

試題詳情

遼寧省大連23中2009年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)秘笈7：

立體幾何

高考立體幾何試題一般共有4道(客觀題3道, 主觀題1道), 共計(jì)總分27分左右,考查的知識(shí)點(diǎn)在20個(gè)以內(nèi). 選擇填空題考核立幾中的計(jì)算型問(wèn)題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問(wèn)題, 當(dāng)然, 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提. 隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施,立體幾何考題正朝著”多一點(diǎn)思考,少一點(diǎn)計(jì)算”的發(fā)展.從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證,角與距離的探求是常考常新的熱門話題.

 

    例1  四棱錐P―ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，PB⊥面ABCD.

    （1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個(gè)四棱錐的體積；

    （2）證明無(wú)論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°

為從而只要算出四棱錐的高就行了.

面ABCD,

    ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，

    ∴PA⊥DA，

    ∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角，

      ∠PAB=60°.                

      而PB是四棱錐P―ABCD的高，PB=AB?tg60°=a,

     .                                    

（2）不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形.

      作AE⊥DP，垂足為E，連結(jié)EC，則△ADE≌△CDE，

      是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.

          設(shè)AC與DB相交于點(diǎn)O，連結(jié)EO，則EO⊥AC，

                                       

      在

     故平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于90°.                   

    本小題主要考查線面關(guān)系和二面角的概念，以及空間想象能力和邏輯推理能力, 具有一定的探索性, 是一道設(shè)計(jì)新穎, 特征鮮明的好題.

 

（1）求證：AB­1⊥平面CED；

（2）求異面直線AB1與CD之間的距離；

（3）求二面角B1―AC―B的平面角.

講解:（1）∵D是AB中點(diǎn)，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.

∴CD⊥平面A1B1BA  ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE；

（2）由CD⊥平面A1B1BA  ∴CD⊥DE

∵AB1⊥平面CDE  ∴DE⊥AB1

∴DE是異面直線AB1與CD的公垂線段

∵CE=，AC=1 , ∴CD=

∴；

（3）連結(jié)B1C，易證B1C⊥AC，又BC⊥AC ,

∴∠B1CB是二面角B1―AC―B的平面角.

在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,

∴∠B1AC=600

∴，  ∴,

∴  , ∴.

作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提, 當(dāng)然, 準(zhǔn)確地作出應(yīng)當(dāng)有嚴(yán)格的邏輯推理作為基石.

例3  如圖a―l―是120°的二面角，A，B兩點(diǎn)在棱上，AB=2，D在內(nèi)，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在內(nèi)，ABC是等腰直角三角形∠ACB=

（I）                                                            求三棱錐D―ABC的體積；

（2）求二面角D―AC―B的大��；     

（3）求異面直線AB、CD所成的角.

   

  

  講解:  (1) 過(guò)D向平面做垂線，垂足為O，連強(qiáng)OA并延長(zhǎng)至E.

為二面角a―l―的平面角..

是等腰直角三角形，斜邊AB=2.又D到平面的距離DO=

（2）過(guò)O在內(nèi)作OM⊥AC,交AC的反向延長(zhǎng)線于M,連結(jié)DM.則AC⊥DM.∴∠DMO  為二面角D―AC―B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且

  （3）在平在內(nèi)，過(guò)C作AB的平行線交AE于F，∠DCF為異面直線AB、CD所成的角.  為等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距離，即△ABC斜邊上的高,

異面直線AB,CD所成的角為arctg

    比較例2與例3解法的異同, 你會(huì)得出怎樣的啟示? 想想看.

 

    例4

 

 

 

 

                        圖①                        圖②

 

   講解:  設(shè)容器的高為x．則容器底面正三角形的邊長(zhǎng)為,

       

                .

    當(dāng)且僅當(dāng) .

故當(dāng)容器的高為時(shí)，容器的容積最大，其最大容積為

對(duì)學(xué)過(guò)導(dǎo)數(shù)的同學(xué)來(lái)講，三次函數(shù)的最值問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)求解是最方便的，請(qǐng)讀者不妨一試. 另外，本題的深化似乎與2002年全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)壓軸題有關(guān)，還請(qǐng)做做對(duì)照. 類似的問(wèn)題是:

    某企業(yè)設(shè)計(jì)一個(gè)容積為V的密閉容器，下部是圓柱形，上部是半球形，當(dāng)圓柱的底面半徑r和圓柱的高h(yuǎn)為何值時(shí)，制造這個(gè)密閉容器的用料最�。慈萜鞯谋砻娣e最小）.

   例5 已知三棱錐P―ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，

D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，DE⊥AP于E．

    （1）求證：AP⊥平面BDE；                

（2）求證：平面BDE⊥平面BDF；

（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱錐

P―ABC所成兩部分的體積比．

講解:  (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．

由AB=BC，D為AC的中點(diǎn)，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．

  （2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，得DF//AP．

由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．

又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．

  （3）設(shè)點(diǎn)E和點(diǎn)A到平面PBC的距離分別為h1和h2．則

           h1∶h2=EP∶AP=2∶3,

    

    故截面BEF分三棱錐P―ABC所成兩部分體積的比為1∶2或2∶1

值得注意的是, “截面BEF分三棱錐P―ABC所成兩部分的體積比”并沒有說(shuō)明先后順序, 因而最終的比值答案一般應(yīng)為兩個(gè), 希不要犯這種”會(huì)而不全”的錯(cuò)誤.

例6  已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，它被過(guò)底面中心O1且平行于母線AB的平面所截，若截面與圓錐側(cè)面的交線是焦參數(shù)（焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）

為p的拋物線.

（1）求圓錐的母線與底面所成的角；

（2）求圓錐的全面積．

    講解: （1）設(shè)圓錐的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，

由題意得：,

即,

所以母線和底面所成的角為

（2）設(shè)截面與圓錐側(cè)面的交線為MON，其中O為截面與

AC的交點(diǎn)，則OO1//AB且

在截面MON內(nèi)，以O(shè)O1所在有向直線為y軸，O為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，則O為拋物的頂點(diǎn)，所以拋物線方程為x2=－2py，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（R，－R），代入方程得

R2=－2p（－R），得R=2p，l=2R=4p.

∴圓錐的全面積為.

將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意, 預(yù)示了高考命題的新動(dòng)向. 類似請(qǐng)思考如下問(wèn)題:

     一圓柱被一平面所截，截口是一個(gè)橢圓．已知橢圓的

長(zhǎng)軸長(zhǎng)為5，短軸長(zhǎng)為4，被截后幾何體的最短側(cè)面母     

線長(zhǎng)為1，則該幾何體的體積等于          ．

 

   例7 如圖，幾何體ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F(xiàn)、G分別為EB和AB的中點(diǎn).

（2）求證：AF⊥BD；

 (3) 求二面角B―FC―G的正切值.

講解: ∵F、G分別為EB、AB的中點(diǎn)，

∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC,  FG=DC，

    ∴四邊形FGCD為平行四邊形，∴FD∥GC，又GC面ABC，

    ∴FD∥面ABC.

（2）∵AB=EA，且F為EB中點(diǎn)，∴AF⊥EB  ①  又FG∥EA，EA⊥面ABC

∴FG⊥面ABC ∵G為等邊△ABC，AB邊的中點(diǎn)，∴AG⊥GC.

∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD  ②

由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.

    （3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.

過(guò)G作GH⊥FC，垂足為H，連HB，∴HB⊥FC.

∴∠GHB為二面角B-FC-G的平面角.

易求.

    例8  如圖，正方體ABCD―A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P、Q分別是線段AD1和BD上的點(diǎn)，且

D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.

 

(1) 求證PQ∥平面CDD1C1；

 

 

 (2) 求證PQ⊥AD；

 

 

 (3) 求線段PQ的長(zhǎng).

講解:  （1）在平面AD1內(nèi)，作PP1∥AD與DD1交于點(diǎn)P1，在平面AC內(nèi)，作

QQ1∥BC交CD于點(diǎn)Q1，連結(jié)P1Q1.

    ∵ ,     ∴PP1QQ1 .?

由四邊形PQQ1P1為平行四邊形,   知PQ∥P1Q1? ?

而P1Q1平面CDD1C1，  所以PQ∥平面CDD1C1?

（2）AD⊥平面D1DCC1，    ∴AD⊥P1Q1，?

又∵PQ∥P1Q1，   ∴AD⊥PQ.?

（3）由（1）知P1Q1 PQ,

，而棱長(zhǎng)CD=1.     ∴DQ1=.  同理可求得 P1D=.

在Rt△P1DQ1中，應(yīng)用勾股定理, 立得

P1Q1=.?

做為本題的深化, 筆者提出這樣的問(wèn)題: P, Q分別是BD,上的動(dòng)點(diǎn),試求的最小值, 你能夠應(yīng)用函數(shù)方法計(jì)算嗎? 試試看. 并與如下2002年全國(guó)高考試題做以對(duì)照, 你會(huì)得到什么啟示?

如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=

（1）       求MN的長(zhǎng)；

（2）       當(dāng)為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最��；

（3）       當(dāng)MN長(zhǎng)最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角的大小。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

立體幾何知識(shí)是復(fù)課耗時(shí)較多, 而考試得分偏底的題型. 只有放底起點(diǎn), 依據(jù)課本, 熟化知識(shí), 構(gòu)建空間思維網(wǎng)絡(luò), 掌握解三角形的基本工具, 嚴(yán)密規(guī)范表述, 定會(huì)突破解答立幾考題的道道難關(guān).

 

 

 

 

試題詳情

2008年11月

綿陽(yáng)南山中學(xué)2008年秋季高2010 級(jí)半期考試

化學(xué)試題

          命題：張明盛       審核：卿明華

可能用到的相對(duì)原子質(zhì)量： H  1      O  16     Al  27　　

第I 卷（選擇題，共50 分）

試題詳情

遼寧省大連23中2009年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)秘笈6：

幾何題

    高考解析幾何試題一般共有4題(2個(gè)選擇題, 1個(gè)填空題, 1個(gè)解答題), 共計(jì)30分左右, 考查的知識(shí)點(diǎn)約為20個(gè)左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點(diǎn), 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)知識(shí). 解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識(shí)點(diǎn), 通過(guò)知識(shí)的重組與鏈接, 使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系, 求解有時(shí)還要用到平幾的基本知識(shí),  這點(diǎn)值得考生在復(fù)課時(shí)強(qiáng)化.

 

    例1  已知點(diǎn)T是半圓O的直徑AB上一點(diǎn)，AB=2、OT=t  (0<t<1)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

(1)寫出直線的方程；

   （2）計(jì)算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；

   （3）證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過(guò)點(diǎn)Q.                  

 

   講解:  通過(guò)讀圖,  看出點(diǎn)的坐標(biāo).

(1 ) 顯然,  于是 直線

的方程為；

   （2）由方程組

解出  、；               

   （3）,

 

        .

   由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)T反射，反射光線通過(guò)點(diǎn)Q.

    需要注意的是, Q點(diǎn)的坐標(biāo)本質(zhì)上是三角中的萬(wàn)能公式, 有趣嗎?

例2  已知直線l與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對(duì)角線的矩形ORPS的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程．

   講解：從直線所處的位置, 設(shè)出直線的方程,

   由已知，直線l不過(guò)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為

代入橢圓方程 得

         

化簡(jiǎn)后，得關(guān)于的一元二次方程

            

于是其判別式

由已知，得△=0．即  ①

在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得

 令頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），  由已知，得

 代入①式并整理，得 ,  即為所求頂點(diǎn)P的軌跡方程．

    方程形似橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, 你能畫出它的圖形嗎?

   例3已知雙曲線的離心率，過(guò)的直線到原點(diǎn)的距離是

 （1）求雙曲線的方程；

 （2）已知直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.

  講解：∵（1）原點(diǎn)到直線AB：的距離.

     故所求雙曲線方程為

（2）把中消去y，整理得 .

     設(shè)的中點(diǎn)是，則

    

  

即

故所求k=±.

為了求出的值, 需要通過(guò)消元, 想法設(shè)法建構(gòu)的方程.

   例4 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠F1PF2的最大值為90°，直線l過(guò)左焦點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△ABF2的面積最大值為12．

  （1）求橢圓C的離心率；

  （2）求橢圓C的方程．

   講解：（1）設(shè), 對(duì) 由余弦定理, 得

  ，

解出  

 （2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況：

   i) 當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)l的方程為………………①

  橢圓方程為

 由   得   .

于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為  ………………②

將①代入②，消去得     ,

整理為的一元二次方程，得       .

則x1、x2是上述方程的兩根．且

，

也可這樣求解：

 

AB邊上的高

  

ii) 當(dāng)k不存在時(shí)，把直線代入橢圓方程得

 

由①②知S的最大值為  由題意得=12  所以   

  故當(dāng)△ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為：

下面給出本題的另一解法,請(qǐng)讀者比較二者的優(yōu)劣：

設(shè)過(guò)左焦點(diǎn)的直線方程為：…………①

（這樣設(shè)直線方程的好處是什么？還請(qǐng)讀者進(jìn)一步反思反思.）

橢圓的方程為：

由得：于是橢圓方程可化為：……②

把①代入②并整理得：

于是是上述方程的兩根.

,

AB邊上的高,

從而

     

當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號(hào)，即

    由題意知,  于是  .

    故當(dāng)△ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為：

   例5  已知直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線上.

（１）求此橢圓的離心率；

（2 ）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的在圓上，求此橢圓的方程.

 

   講解:（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 得

,   

根據(jù)韋達(dá)定理，得            

  

 ∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）. 

 由已知得

  故橢圓的離心率為 .

 （2）由（1）知從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為

解得     

由已知得

故所求的橢圓方程為 .

   例6   已知⊙M：軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點(diǎn)，

   （1）如果，求直線MQ的方程；

   （2）求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.

文本框:    講解:（1）由，可得由射影定理，得   在Rt△MOQ中，

  ，

    故，

    所以直線AB方程是

  （2）連接MB，MQ，設(shè)由

點(diǎn)M，P，Q在一直線上，得

由射影定理得

即 把（*）及（**）消去a，并注意到，可得

   適時(shí)應(yīng)用平面幾何知識(shí)，這是快速解答本題的要害所在，還請(qǐng)讀者反思其中的奧妙.

    例7   如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O點(diǎn)，OA=OB，DO=2，曲線E過(guò)C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在E上運(yùn)動(dòng)，且保持| PA |+| PB |的值不變.

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；

（2）過(guò)D點(diǎn)的直線L與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)M、N且M在D、N之間，設(shè)，

 

 

                       

   試確定實(shí)數(shù)的取值范圍．

講解: （1）建立平面直角坐標(biāo)系, 如圖所示 .                                     

    ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |                                        y

 C

A     O         B

∵                                                                                 

∴曲線E的方程是  .

   （2）設(shè)直線L的方程為 , 代入曲線E的方程，得

       

設(shè)M1（,  則

    
   
    
    
    
    
    
    ①
     
    ②
     
    ③
    i)  L與y軸重合時(shí)，                         

    ii)  L與y軸不重合時(shí)，
      由①得   
      又∵,
    ∵  或  
    ∴0＜＜1 ,                                           

     
    ∴ .                 

    ∵
    而  ∴
    ∴                            
    ∴ ,  ,
    ∴的取值范圍是 .    
        值得讀者注意的是，直線L與y軸重合的情況易于遺漏，應(yīng)當(dāng)引起警惕.

        例8  直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A兩點(diǎn).
       （1）求證：;
       （2）求證：對(duì)于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線.
                    

      講解: （1）易求得拋物線的焦點(diǎn).
      若l⊥x軸，則l的方程為.
    若l不垂直于x軸，可設(shè),代入拋物線方程整理得            
. 
    綜上可知  .
    （2）設(shè)，則CD的垂直平分線的方程為
    假設(shè)過(guò)F，則整理得
         
    ，. 
    這時(shí)的方程為y=0，從而與拋物線只相交于原點(diǎn). 而l與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因此與l不重合，l不是CD的垂直平分線.
        此題是課本題的深化，你能夠找到它的原形嗎？知識(shí)在記憶中積累，能力在聯(lián)想中提升. 課本是高考試題的生長(zhǎng)點(diǎn)，復(fù)課切忌忘掉課本！
     
        例9 某工程要將直線公路l一側(cè)的土石，通過(guò)公路上的兩個(gè)道口A和B，沿著道路AP、BP運(yùn)往公路另一側(cè)的P處，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，試說(shuō)明怎樣運(yùn)土石最省工？
        講解: 以直線l為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)對(duì)立直角坐標(biāo)系，則在l一側(cè)必存在經(jīng)A到P和經(jīng)B到P路程相等的點(diǎn)，設(shè)這樣的點(diǎn)為M，則
         
|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,
    即  
|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,
    ,
    ∴M在雙曲線的右支上.
    故曲線右側(cè)的土石層經(jīng)道口B沿BP運(yùn)往P處，曲線左側(cè)的土石層經(jīng)道口A沿AP運(yùn)往P處，按這種方法運(yùn)土石最省工.
    相關(guān)解析幾何的實(shí)際應(yīng)用性試題在高考中似乎還未涉及，其實(shí)在課本中還可找到典型的范例，你知道嗎？
    解析幾何解答題在歷年的高考中�？汲Ｐ�, 體現(xiàn)在重視能力立意, 強(qiáng)調(diào)思維空間, 是用活題考死知識(shí)的典范. 考題求解時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化, 數(shù)形結(jié)合,
分類討論, 函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想, 以及定義法, 配方法, 待定系數(shù)法, 參數(shù)法, 判別式法等數(shù)學(xué)通法.
     
     
    		
    試題詳情