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一自來水廠用蓄水池通過管道向所管轄區(qū)域供水．某日凌晨，已知蓄水池有水9千噸，水廠計劃在當日每小時向蓄水池注入水2千噸，且每小時通過管道向所管轄區(qū)域供水千噸．

（1）多少小時后，蓄水池存水量最少？

（2）當蓄水池存水量少于3千噸時，供水就會出現(xiàn)緊張現(xiàn)象，那么當日出現(xiàn)這種情況的時間有多長？

【解析】第一問中（1）設小時后，蓄水池有水千噸．依題意，當，即（小時）時，蓄水池的水量最少，只有1千噸

第二問依題意，   解得：

解：（1）設小時后，蓄水池有水千噸．………………………………………1分

依題意，…………………………………………4分

當，即（小時）時，蓄水池的水量最少，只有1千噸． ………2分

（2）依題意，   ………………………………………………3分

解得：．  …………………………………………………………………3分

所以，當天有8小時會出現(xiàn)供水緊張的情況

 

如圖，，，…，，…是曲線上的點，，，…，，…是軸正半軸上的點，且，，…，，… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標原點）．

（1）寫出、和之間的等量關系，以及、和之間的等量關系；

（2）求證：（）；

（3）設，對所有，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

【解析】第一問利用有，得到

第二問證明：①當時，可求得，命題成立；②假設當時，命題成立，即有則當時，由歸納假設及，

得

第三問 

．………………………2分

因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以當時，最大為，即

解：（1）依題意，有，，………………4分

（2）證明：①當時，可求得，命題成立； ……………2分

②假設當時，命題成立，即有，……………………1分

則當時，由歸納假設及，

得．

即

解得（不合題意，舍去）

即當時，命題成立．  …………………………………………4分

綜上所述，對所有，．    ……………………………1分

（3） 

．………………………2分

因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以當時，最大為，即

．……………2分

由題意，有． 所以，

 

如圖，已知點和單位圓上半部分上的動點B．

（1）若，求向量；

（2）求的最大值．

【解析】對于這樣的向量的坐標和模最值的求解，利用建立直角坐標系的方法可知。

第一問中，依題意，，，

因為，所以，即，

解得，所以

第二問中，結合三角函數(shù)的性質得到最值。

（1）依題意，，（不含1個或2個端點也對）

， （寫出1個即可）

因為，所以，即，

解得，所以.-

（2），

 當時，取得最大值，

 

在中，是三角形的三內角，是三內角對應的三邊，已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的值.

【解析】第一問中利用依題意且，故

第二問中，由題意又由余弦定理知

，得到，所以，從而得到結論。

（1）依題意且，故……………………6分

（2）由題意又由余弦定理知

…………………………9分

即   故

           代入得

 

【練】

（1）（2005高考北京卷）已知函數(shù)f(x)=－x³＋3x²＋9x＋a, （I）求f(x)的單調遞減區(qū)間；（II）若f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．答案：（1）（－∞，－1），（3，＋∞）（2）－7