題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實(shí)數(shù)
，曲線
上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當(dāng)
時(shí)，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當(dāng)
時(shí)，
，令
得
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)
，則
，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當(dāng)時(shí)，，令得
當(dāng)
變化時(shí)，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
。∴在
上的最大值為2.
②當(dāng)
時(shí), 
.當(dāng)
時(shí), 
,最大值為0；
當(dāng)
時(shí), 在
上單調(diào)遞增。∴在最大值為
。
綜上，當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；
當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時(shí)
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調(diào)遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上
設(shè)函數(shù)
（1）當(dāng)
時(shí)，求曲線
處的切線方程；
（2）當(dāng)
時(shí)，求
的極大值和極小值；
（3）若函數(shù)在區(qū)間
上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【解析】（1）中，先利用
，表示出點(diǎn)的斜率值
這樣可以得到切線方程。（2）中，當(dāng)
，再令
，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性，進(jìn)而得到極值。（3）中，利用函數(shù)在給定區(qū)間遞增，說明了在區(qū)間導(dǎo)數(shù)恒大于等于零，分離參數(shù)求解范圍的思想。
解：（1）當(dāng)……2分
∴
即
為所求切線方程�！�4分
（2）當(dāng)
令………………6分
∴
遞減，在（3，+
）遞增
∴的極大值為
…………8分
（3）
①若
上單調(diào)遞增�！酀M足要求�！�10分
②若
∵
恒成立，
恒成立，即a>0……………11分
時(shí)，不合題意。綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是
（本小題滿分12分）已知函數(shù)
（I）若函數(shù)
在區(qū)間
上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）當(dāng)
時(shí)，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
（Ⅲ）求證：解：（1）
，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052512313679685506/SYS201205251234077812428021_ST.files/image007.png">，則
令
，
則
，
當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，
在（0，1）上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值. （3分）
函數(shù)在區(qū)間
上存在極值，
，解得
（4分）
（2）不等式，即
令
（6分）
令
，則
，
，即
在
上單調(diào)遞增， （7分）
，從而
，故
在上單調(diào)遞增， （7分）
（8分）
（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，
恒成立，即
，
令
，則
， （9分）
（10分）
以上各式相加得，
即
，
即
（12分）
。
已知函數(shù)
，（
），
（1）若曲線
與曲線
在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，求a,b的值
（2）當(dāng)
時(shí)，若函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間（-∞，-1）上的最大值。
【解析】（1）
，
∵曲線與曲線在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線
∴
，
∴
（2）令
，當(dāng)
時(shí)，
令
，得
時(shí)，
的情況如下：
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
所以函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間為
，
，單調(diào)遞減區(qū)間為
當(dāng)
，即
時(shí)，函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞增，在區(qū)間上的最大值為
，
當(dāng)
且
，即
時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間
上單調(diào)遞減，在區(qū)間上的最大值為
當(dāng)
，即a>6時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞贈(zèng)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間
上單調(diào)遞增。又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912442510881234/SYS201207091244511088175760_ST.files/image040.png">
所以在區(qū)間上的最大值為。
設(shè)函數(shù)
．
(Ⅰ) 當(dāng)
時(shí)，求
的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ) 若在
上的最大值為
，求
的值．
【解析】第一問中利用函數(shù)
的定義域?yàn)椋?，2），
.
當(dāng)a=1時(shí)，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，
），單調(diào)遞減區(qū)間為（，2）；
第二問中，利用當(dāng)
時(shí)，
>0, 即在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，2），.
（1）當(dāng)
時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，2）；
（2）當(dāng)
時(shí)，
>0, 即在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
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單調(diào)遞減
