題目列表(包括答案和解析)
設(shè)函數(shù)
，其中
．
（I）若函數(shù)
圖象恒過定點P，且點P關(guān)于直線
的對稱點在
的圖象上，求m的值；
（Ⅱ）當
時，設(shè)
，討論
的單調(diào)性；
（Ⅲ）在(I)的條件下，設(shè)
，曲線
上是否存在兩點P、Q，使△OPQ(O為原點)是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．
設(shè)函數(shù)
，其中
．證明：當
時，函數(shù)
沒有極值點；當
時，函數(shù)有且只有一個極值點，并求出極值．
設(shè)函數(shù)
，其中
．
（Ⅰ）當
時，判斷函數(shù)
在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）求函數(shù)的極值點；
（Ⅲ）證明對任意的正整數(shù)
，不等式
都成立．
設(shè)函數(shù)
，其中
．證明：當
時，函數(shù)
沒有極值點；當
時，函數(shù)有且只有一個極值點，并求出極值．
設(shè)函數(shù)
，其中
．
（1）記集合
不能構(gòu)成一個三角形的三邊長，且
，則
所對應(yīng)的
的零點的取值集合為 ；
（2）若
是
的三邊長，則下列結(jié)論正確的是 （寫出所有正確結(jié)論的序號）．
①對于區(qū)間
內(nèi)的任意
，總有
成立；
②存在實數(shù)，使得
不能同時成為任意一個三角形的三條邊長；
③若
，則存在實數(shù)
，使
．（提示 ：
）
（第（1）空2分，第（2）空3分）
一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分.
1. D 2. D 3. D 4. C 5. A
6. D提示: 用
代換x得： 
，
解得：
，而
單調(diào)遞增且大于等于0，
，選D。
7. B 8. C 9. B
10.B提示:
，若函數(shù)在
上有大于零的極值點，即
有正根。當有成立時，顯然有
，此時
，由
得到參數(shù)
的范圍為
。
11. D提示:由奇函數(shù)可知
，而
，
則
，當時，
；當
時，
，
又在
上為增函數(shù)，則奇函數(shù)在
上為增函數(shù)，
.
12. D
二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分.
13. 
14.
15. 
16.②③
三、解答題:本大題共6小題，共74分.
17.(本小題滿分12分)
解（Ⅰ）由題意可設(shè)二次函數(shù)f(x)=a(x-1)(x-3)(a<0) ………2分
當x=0時,y=-3,即有-3=a(-1)(-3),
解得a=-1,
f(x)= -(x-1)(x-3)=
,
的解析式為=.
……………………6分
（Ⅱ）y=f(sinx)=
=
.
……………………8分
, 
,
則當sinx=0時,y有最小值-3;當sinx=1時,y有最大值0. …………………12分
18．(本小題滿分12分)
解: (Ⅰ)改進工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價為
，月平均銷售量為
件，則月平均利潤
（元），
∴
與
的函數(shù)關(guān)系式為
.…………6分
(Ⅱ)由
得
，
（舍）, ……………8分
當
時
；
時
，
∴函數(shù) 在
取得最大值.
故改進工藝后，產(chǎn)品的銷售價為
元時，旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.
……………………12分
19．(本小題滿分12分)
解: (Ⅰ)由題知
=
,所以
=
…3分
由題知對任意的不為零的實數(shù), 都有
,
即
=
恒成立，所以
.
………………………………6分
(Ⅱ)由題知
0,所以
0,即
, ………………………8分
①當時，；
②當
時，
，所以或
;
③當
時，
，所以
.
綜上, 當時，實數(shù)的取值范圍是；
當時, 實數(shù)的取值范圍是或;
當時, 實數(shù)的取值范圍是.
…………………………12分
20．(本小題滿分12分)
解：設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘，總收益為
元，由題意得
………3分
目標函數(shù)為
． …………5分
二元一次不等式組等價于
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域． ………………8分
如圖：作直線
，
即
．
平移直線
，從圖中可知，當直線過
點時，目標函數(shù)取得最大值．
聯(lián)立
解得
．
點的坐標為
． …………………10分
（元）
答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元． …………………………12分
21．(本小題滿分12分)
解:由
得
，
又
,所以
,
當
時，1<
,即
為真時實數(shù)的取值范圍是1<. …………2分
由
,得
,即
為真時實數(shù)的取值范圍是. ……4分
若
為真，則真且真，所以實數(shù)的取值范圍是
. …………6分
(Ⅱ)
是
的充分不必要條件，即
,且
, ……………8分
設(shè)A=
,B=
,則
,
又A==
, B==
}， ……………10分
則0<
,且
所以實數(shù)的取值范圍是
. ……………………12分
22．(本小題滿分14分)
解：（Ⅰ）
． ………………………1分
當
時，
．
令
，解得
，
，
．
………………………3分
當變化時，
，的變化情況如下表：
ㄋ
極小值
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
所以在,內(nèi)是增函數(shù)；在，內(nèi)是減函數(shù)�！�5分
（Ⅱ）解：
，顯然
不是方程
的根．
為使僅在處有極值，必須
恒成立，即有
．
……………………8分
解此不等式，得
．這時，
是唯一極值．
因此滿足條件的的取值范圍是
．
……………………10分
（Ⅲ）解：由條件
可知
，從而
恒成立．
當時，
；當時，
．
因此函數(shù)在
上的最大值是
與
兩者中的較大者．
……12分
為使對任意的，不等式
在上恒成立，當且僅當
即
所以
，因此滿足條件的
的取值范圍是
．……………………14分
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