題目列表(包括答案和解析)
若對任意x∈A,y∈B(AR,B
R)有唯一確定的f(x,y)與之對應,則稱f(x,y)為關(guān)于x,y的二元函數(shù),現(xiàn)定義滿足下列性質(zhì)的f(x,y)為關(guān)于實數(shù)x,y的廣義“距離”:
(1)非負性:f(x,y)≥0,當且僅當x=y(tǒng)時取等號;
(2)對稱性:f(x,y)=f(y,x);
(3)三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)對任意的實數(shù)z均成立.給出三個二元函數(shù):
①f(x,y)=|x-y|;
②f(x,y)=(x-y)2;
③f(x,y)=.
則所有能夠成為關(guān)于x,y的廣義“距離”的序號為________.
對于函數(shù)f(x)(x∈D),若x∈D時,恒有>
成立,則稱函數(shù)
是D上的J函數(shù).
(Ⅰ)當函數(shù)f(x)=mlnx是J函數(shù)時,求m的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)為(0,+∞)上的J函數(shù),
試比較g(a)與g(1)的大小;
求證:對于任意大于1的實數(shù)x1,x2,x3, ,xn,均有g(shù)(ln(x1+x2+ +xn))
>g(lnx1)+g(lnx2)+ +g(lnxn).
對于函數(shù)f(x)(x∈D),若x∈D時,恒有>
成立,則稱函數(shù)
是D上的J函數(shù).
(Ⅰ)當函數(shù)f(x)=mlnx是J函數(shù)時,求m的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)為(0,+∞)上的J函數(shù),
①試比較g(a)與g(1)的大;
②求證:對于任意大于1的實數(shù)x1,x2,x3, ,xn,均有g(shù)(ln(x1+x2+ +xn))>g(lnx1)+g(lnx2)+ +g(lnxn).
對于函數(shù)f(x)(x∈D),若x∈D時,恒有>
成立,則稱函數(shù)
是D上的J函數(shù).
(Ⅰ)當函數(shù)f(x)=mlnx是J函數(shù)時,求m的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)為(0,+∞)上的J函數(shù),
試比較g(a)與g(1)的大。
求證:對于任意大于1的實數(shù)x1,x2,x3, ,xn,均有g(shù)(ln(x1+x2+ +xn))
>g(lnx1)+g(lnx2)+ +g(lnxn).
一、選擇題(本大題共12小題,每小題4分,共48分)
1.B 2.A 3.B 4.A 5.D 6.C
7.C 8.A 9.B 10.D 11.D 12.B
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分)
13. 14.增函數(shù)的定義 15.與該平面平行的兩個平面 16.
三、解答題(本大題共3小題,每小題12分,共36分)
17.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由,可得
.
由題設(shè)可得
即
解得,
.
所以.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)由題意得,
所以.
令,得
,
.
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
,
.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
解:(Ⅰ),
,
.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)根據(jù)計算結(jié)果,可以歸納出 .
當時,
,與已知相符,歸納出的公式成立.
假設(shè)當(
)時,公式成立,即
,
那么,.
所以,當時公式也成立.
綜上,對于任何
都成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
18B. (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ),因為
,
所以,
,解得
,
同理.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)根據(jù)計算結(jié)果,可以歸納出
.
當時,
,與已知相符,歸納出的公式成立.
假設(shè)當(
)時,公式成立,即
.
由可得,
.
即 .
所以.
即當時公式也成立.
綜上,對于任何
都成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
(Ⅰ)解:的定義域為
,
的導數(shù)
.
令,解得
;令
,解得
.
從而在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增.
所以,當時,
取得最小值
. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 6分
(Ⅱ)依題意,得在
上恒成立,
即不等式對于
恒成立.
令,
則.
當時,因為
,
故是
上的增函數(shù), 所以
的最小值是
,
從而的取值范圍是
. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
19B. (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由于
當時,
,
令,可得
.
當時,
,
可知.
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為
. ………………………………………………6分
(Ⅱ)設(shè)
當時,
,
令,可得
,即
;
令,可得
.
可得為函數(shù)
的單調(diào)增區(qū)間,
為函數(shù)
的單調(diào)減區(qū)間.
當時,
,
所以當時,
.
可得為函數(shù)
的單調(diào)減區(qū)間.
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
,單調(diào)減區(qū)間為
.
函數(shù)的最大值為
,
要使不等式對一切
恒成立,
即對一切
恒成立,
又,
可得的取值范圍為
. ………………………………………………12分
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