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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分12分)

       已知函數(shù)

   (1)確定上的單調(diào)性;[來源:學(xué)科網(wǎng)]

   (2)設(shè)在(0,2)上有極值,求的取值范圍。

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(本小題滿分12分)如圖,ABCDABEF都是正方形,,且.證明:平面BCE

 [來源:學(xué)&科&網(wǎng)]

                                                  

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(本小題滿分12分)[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

某校高三文科分為四個班.高三數(shù)學(xué)調(diào)研測試后,

隨機(jī)地在各班抽取部分學(xué)生進(jìn)行測試成績統(tǒng)計,

各班被抽取的學(xué)生人數(shù)恰好成等差數(shù)列,人數(shù)最少的班被抽取了22人。

抽取出來的所有學(xué)生的測試成績統(tǒng)計結(jié)果的頻率分布條形圖如圖5所示,

其中120~130(包括120分但不包括130分)的頻率為0.05,此            0

分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為5人

(1)問各班被抽取的學(xué)生人數(shù)各為多少人?

(2)在抽取的所有學(xué)生中,任取一名學(xué)生, 求分?jǐn)?shù)不。本小題滿分12分)

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(本小題滿分12分)

如圖所示,在正三棱柱中,底面邊長為,側(cè)棱長為,是棱的中點.

 
(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求二面角的大;[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

(Ⅲ)求點到平面的距離.

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(本小題滿分12分)

班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析,決定從全班25位女同學(xué),15位男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為8的樣本進(jìn)行分析.

(1)如果按性別比例分層抽樣,可以得到多少個不同的樣本(只要求寫出算式即可,不必計算出結(jié)果);

(2)隨機(jī)抽取8位同學(xué),數(shù)學(xué)分數(shù)依次為:60,65,70,75,80,85,90,95;

物理成績依次為:72,77,80,84,88,90,93,95,

①若規(guī)定90分(含90分)以上為優(yōu)秀,記為這8位同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

②若這8位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理分?jǐn)?shù)事實上對應(yīng)下表:

學(xué)生編號

1

2

3

4

5

6

7[來源:Z#xx#k.Com]

8

數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)

60

65

70

75

80

85

90

95

物理分?jǐn)?shù)

72

77

80[來源:學(xué)科網(wǎng)]

84

88

90

93

95

根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知,變量之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,求出的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01).(參考公式:,其中,;參考數(shù)據(jù):,,,

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一. 選擇題 : (本大題共10小題, 每小題5分, 共50分)

ABDCC   DDBCB

二.填空題: (本大題共5小題, 每小題5分, 共25分)

11.1680     12.5     13.-1     14.     15.

三. 解答題: (本大題共6小題,  共75分)

16.(本小題滿分12分)

解:(1)f(x)......3分

……4分

 

的單調(diào)區(qū)間為,k∈Z  。6分

(2)由......7分

的內(nèi)角 .....9分

      .......11分

 。12分

 

17.(本小題滿分12分)

解:(1).......5分

.......12分

 

18.(本題滿分12分)

解法一:

(1)在棱取三等分點,使,則,由⊥平面,

⊥平面。過點,連結(jié),

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)為所求二面角的平面角.

中,,

,

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)所以,二面角的余弦值為......6分

(2)因為,所以點到平面的距離等于

到平面的距離,⊥平面,

過點,連結(jié),則,

⊥平面,過點,

,為所求距離,

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)

所以,求點到平面的距離為......12分

解法二:

證明:(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0)、D(0,3,0)、P(0,0,3)、

B(4,0,0)、C(4,3,0), 由已知得,

.

設(shè)平面QAC的法向量為,則,

,令,得到平面QAC的一個法向量為

∵PA⊥平面ABCD,∴為平面ABCD的法向量.             

設(shè)二面角P―CD―B的大小為q,依題意可得.....6分

(2)由(1)得

設(shè)平面PBD的法向量為,則,

,∴令,得到平面QAC的一個為法向量為

 ∵,∴C到面PBD的距離為 .....12分

 

19. (本小題滿分13分)

(1)解:當(dāng)時,,………………………………①

則當(dāng), 時,………………②

①-②,得,即

,∴,當(dāng)時,,則.

是以為首項,為公比的等比數(shù)列,∴,

………………………6分

(2)證明:.

, 則,…………③

…………………………④

③-④,得

.

當(dāng)時,, ∴為遞增數(shù)列,

 ∴........13分

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)20.(本小題滿分13分)

解法一:

(1)設(shè)橢圓方程為(a>b>0),由已知c=1,

2a= .

所以a=,b2=a2-c2=1,

橢圓C的方程是x2+ =1. .......4分

(2)若直線l與x軸重合,則以AB為直徑的圓是x2+y2=1,

若直線l垂直于x軸,則以AB為直徑的圓是(x+)2+y2=

解得即兩圓相切于點(1,0).

因此所求的點T如果存在,只能是(1,0). 事實上,點T(1,0)就是所求的點........6分

證明如下:

當(dāng)直線l垂直于x軸時,以AB為直徑的圓過點T(1,0).

若直線l不垂直于x軸,可設(shè)直線l:y=k(x+).

即(k2+2)x2+k2x+k2-2=0.記點A(x1,y1),B(x2,y2),則

=(x1-1, y1), =(x2-1, y2), =(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+)(x2+)

=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=(k2+1) +(k2-1) + +1=0,

所以TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過點T(1,0).故在坐標(biāo)平面上存在一個定點T(1,0)滿足條件.......13分

解法二:

(1)由已知c=1,設(shè)橢圓C的方程是(a>1).

因為點P在橢圓C上,所以,解得a2=2,所以橢圓C的方程是:.

.......4分

(2)假設(shè)存在定點T(u,v)滿足條件.同解法一得(k2+2)x2+k2x+k2-2=0.

記點A(x1,y1),B(x2,y2),則

又因為=(x1-u, y1-v), =(x2-u, y2-v),及y1=k(x1+),y2=k(x2+).

所以=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)

=(k2+1)x1x2+(k2-u-kv)(x1+x2)+k2-v+u2+v2

=

當(dāng)且僅當(dāng)?=0恒成立時,以AB為直徑的圓恒過點T.

?=0恒成立等價于解得u=1,v=0.

此時,以AB為直徑的圓恒過定點T(1,0). 當(dāng)直線l垂直于x軸時,以AB為直徑的圓亦過點T(1,0).所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點T(1,O)滿足條件

........13分

解法三:

(1)同解法一或解法二........4分

(2)設(shè)坐標(biāo)平面上存在一個定點T滿足條件,根據(jù)直線過x軸上的定點S及橢圓的對稱性,所求的點T如果存在,只能在x軸上,設(shè)T(t,O).

 同解法一得=(x1-t,y1),=(x2-t,y2)

=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(x1-t)(x2-t)+k2(x1+)(x2+)

=(k2+1)x1x2+(k2-t)(x1+x2)+k2+t2=

當(dāng)且僅當(dāng)?=O恒成立時,以AB為直徑的圓恒過點T.

?=O恒成立等價于解得t=1.所以當(dāng)t=1時,以AB為直徑的圓恒過點T.

當(dāng)直線l垂直于x軸時,以AB為直徑的圓亦過點T(1,O).

   所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點T(1,O)滿足條件........13分

 

21. (本小題滿分13分)

解:(1)由題意               …………………………1分

當(dāng)時,取得極值,  所以

      即      …………………3分

    此時當(dāng)時,,當(dāng)時,,

    是函數(shù)的最小值。          ………………………5分

(2)設(shè),則  ,……8分

     設(shè),

      ,令解得

       列表如下:

 

__

0

+

 

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函數(shù)上是增函數(shù),在上是減函數(shù)。

當(dāng)時,有極大值;當(dāng)時,有極小值……10分

函數(shù)的圖象有兩個公共點,函數(shù)的圖象有兩個公共點

         或       ……13分


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