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已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的焦點(diǎn)，∠F₁PF₂的外角平分線為l，點(diǎn)F₂關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，F(xiàn)₂Q交l于點(diǎn)R．

(1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C，直線l：y＝k(x＋a)與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取得最大值時(shí)，求k的值．

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一、選擇題

1．D　　2．A　　3．C　　4．D　　5．B　　6．C　　7．D　　8．B　　9．A　　10．A

二、填空題

11．148　　12．－4　　13．　　14．－6　　15．①②③④

三、解答題

16．解：⑴＝

＝

＝

＝                                                                                                                 3分

＝

＝1＋1＋2cos2x

＝2＋2cos2x

＝4cos²x

∵x∈[0，]　　∴cosx≥0

∴＝2cosx                                                                                                    6分

⑵ f (x)＝cos2x－?2cosx?sinx

      ＝cos2x－sin2x

      ＝2cos(2x＋)                                                                                           8分

∵0≤x≤　　∴

∴　　∴

∴，當(dāng)x＝時(shí)取得該最小值

　，當(dāng)x＝0時(shí)取得該最大值                                                                  12分

17．由題意知，在甲盒中放一球概率為，在乙盒放一球的概率為                    3分

①當(dāng)n＝3時(shí)，x＝3，y＝0的概率為                                              6分

②|x－y|＝2時(shí)，有x＝3，y＝1或x＝1，y＝3

它的概率為                                                                12分

18．解：⑴證明：在正方形ABCD中，AB⊥BC

又∵PB⊥BC  ∴BC⊥面PAB  ∴BC⊥PA

同理CD⊥PA  ∴PA⊥面ABCD　　　　4分

⑵在AD上取一點(diǎn)O使AO=AD，連接E，O，

則EO∥PA，∴EO⊥面ABCD　過(guò)點(diǎn)O做

OH⊥AC交AC于H點(diǎn)，連接EH，則EH⊥AC，

從而∠EHO為二面角E－AC－D的平面角                                                             6分

在△PAD中，EO＝AP＝在△AHO中∠HAO＝45°，

∴HO＝AOsin45°=，∴tan∠EHO＝，

∴二面角E－AC－D等于arctan                                                                   8分

⑶當(dāng)F為BC中點(diǎn)時(shí)，PF∥面EAC，理由如下：

∵AD∥2FC，∴，又由已知有，∴PF∥ES

∵PF面EAC，EC面EAC　　∴PF∥面EAC，

即當(dāng)F為BC中點(diǎn)時(shí)，PF∥面EAC                                                                         12分

19．⑴f '(x)＝3x²＋2bx＋c，由題知f '(1)＝03＋2b＋c＝0，

f (1)＝－11＋b＋c＋2＝－1

∴b＝1，c＝－5                                                                                                    3分

f (x)＝x³＋x²－5x＋2，f '(x)＝3x²＋2x－5

f (x)在[－，1]為減函數(shù)，f (x)在(1，＋∞)為增函數(shù)

∴b＝1，c＝－5符合題意                                                                                      5分

⑵即方程：恰有三個(gè)不同的實(shí)解：

x³＋x²－5x＋2＝k(x≠0)

即當(dāng)x≠0時(shí)，f (x)的圖象與直線y＝k恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

由⑴知f (x)在為增函數(shù)，

f (x)在為減函數(shù)，f (x)在(1，＋∞)為增函數(shù)，

又，f (1)＝－1，f (2)＝2

∴且k≠2                                                                                               12分

20．⑴∵

∴                                                                                         3分

∴{a_n－3ⁿ}是以首項(xiàng)為a₁－3＝2，公比為－2的等比數(shù)列

∴a_n－3ⁿ＝2?(－2)^n－1

∴a_n＝3ⁿ＋2?(－2)^n－1＝3ⁿ－(－2)ⁿ                                                                        6分

⑵由3ⁿb_n＝n?(3ⁿ－a_n)＝n?[3ⁿ－3ⁿ＋(－2)ⁿ]＝n?(－2)ⁿ

∴b_n＝n?(－)ⁿ                                                                                                    8分

令

∴

∴

∴＜6

∴m≥6                                                                                                                   13分

21．⑴設(shè)M(x₀，y₀)，則N(x₀，－y₀)，P(x，y)

AM：y＝　　�、�

BN：y＝　　　②

聯(lián)立①②　　∴                                                                                      4分

∵點(diǎn)M(x_o，y_o)在圓⊙O上，代入圓的方程：

整理：y²＝－2(x＋1)  (x＜－1)                                                                             6分

⑵由

設(shè)S(x₁、y₁)，T(x₂、y₂)，ST的中點(diǎn)坐標(biāo)(x₀、y₀)

則x₁＋x₂＝－(3＋)

x₁x₂＝                                                                                                          8分

∴

中點(diǎn)到直線的距離

∴

故圓與x＝－總相切．                                                                                        14分

⑵另解：∵y²＝－2(x＋1)知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－，0)                                                  2分

頂點(diǎn)(－1，0)，故準(zhǔn)線x＝－                                                                              4分

設(shè)S、T到準(zhǔn)線的距離為d₁，d₂，ST的中點(diǎn)O'，O'到x＝－的距離為

又由拋物線定義：d₁＋d₂＝|ST|，∴

故以ST為直徑的圓與x＝－總相切                                                                      8分