題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令
.
當(dāng)時(shí)
單調(diào)遞減;當(dāng)
時(shí)
單調(diào)遞增,故當(dāng)
時(shí),
取最小值
于是對一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)
. ①
令則
當(dāng)時(shí),
單調(diào)遞增;當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞減.
故當(dāng)時(shí),
取最大值
.因此,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí),①式成立.
綜上所述,的取值集合為
.
(Ⅱ)由題意知,令
則
令,則
.當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞減;當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞增.故當(dāng)
,
即
從而,
又
所以因?yàn)楹瘮?shù)
在區(qū)間
上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在
使
即
成立.
【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值
對一切x∈R,f(x)
1恒成立轉(zhuǎn)化為
從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.
設(shè)點(diǎn)是拋物線
的焦點(diǎn),
是拋物線
上的
個(gè)不同的點(diǎn)(
).
(1) 當(dāng)時(shí),試寫出拋物線
上的三個(gè)定點(diǎn)
、
、
的坐標(biāo),從而使得
;
(2)當(dāng)時(shí),若
,
求證:;
(3) 當(dāng)時(shí),某同學(xué)對(2)的逆命題,即:
“若,則
.”
開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
請你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開展研究:
① 試構(gòu)造一個(gè)說明該逆命題確實(shí)是假命題的反例(本研究方向最高得4分);
② 對任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真,請寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).
【評分說明】本小題若填空不止一個(gè)研究方向,則以實(shí)得分最高的一個(gè)研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問利用拋物線的焦點(diǎn)為
,設(shè)
,
分別過作拋物線
的準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得到
第二問設(shè),分別過
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得
第三問中①取時(shí),拋物線
的焦點(diǎn)為
,
設(shè),
分別過
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
,
則,不妨取
;
;
;
解:(1)拋物線的焦點(diǎn)為
,設(shè)
,
分別過作拋物線
的準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image010.png">,所以,
故可取滿足條件.
(2)設(shè),分別過
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image017.png">
;
所以.
(3) ①取時(shí),拋物線
的焦點(diǎn)為
,
設(shè),
分別過
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
,
則,不妨取
;
;
;
,
則,
.
故,
,
,
是一個(gè)當(dāng)
時(shí),該逆命題的一個(gè)反例.(反例不唯一)
② 設(shè),分別過
作
拋物線的準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
,
由及拋物線的定義得
,即
.
因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無關(guān),所以只要將這
點(diǎn)都取在
軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于零,則
,
而,所以
.
(說明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組
個(gè)不同的點(diǎn),均為反例.)
③ 補(bǔ)充條件1:“點(diǎn)的縱坐標(biāo)
(
)滿足
”,即:
“當(dāng)時(shí),若
,且點(diǎn)
的縱坐標(biāo)
(
)滿足
,則
”.此命題為真.事實(shí)上,設(shè)
,
分別過作拋物線
準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
,由
,
及拋物線的定義得,即
,則
,
又由,所以
,故命題為真.
補(bǔ)充條件2:“點(diǎn)與點(diǎn)
為偶數(shù),
關(guān)于
軸對稱”,即:
“當(dāng)時(shí),若
,且點(diǎn)
與點(diǎn)
為偶數(shù),
關(guān)于
軸對稱,則
”.此命題為真.(證略)
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com