題目列表(包括答案和解析)
函數(shù)有意義,需使,其定義域?yàn)?sub>
,排除C,D,又因?yàn)?sub>
,所以當(dāng)
時(shí)函數(shù)為減函數(shù),故選A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
答案:A.
【命題立意】:本題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì).本題的難點(diǎn)在于給出的函數(shù)比較復(fù)雜,需要對(duì)其先變形,再在定義域內(nèi)對(duì)其進(jìn)行考察其余的性質(zhì).
設(shè)點(diǎn)是拋物線
的焦點(diǎn),
是拋物線
上的
個(gè)不同的點(diǎn)(
).
(1) 當(dāng)時(shí),試寫(xiě)出拋物線
上的三個(gè)定點(diǎn)
、
、
的坐標(biāo),從而使得
;
(2)當(dāng)時(shí),若
,
求證:;
(3) 當(dāng)時(shí),某同學(xué)對(duì)(2)的逆命題,即:
“若,則
.”
開(kāi)展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
請(qǐng)你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開(kāi)展研究:
① 試構(gòu)造一個(gè)說(shuō)明該逆命題確實(shí)是假命題的反例(本研究方向最高得4分);
② 對(duì)任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說(shuō)明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真,請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件,并說(shuō)明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).
【評(píng)分說(shuō)明】本小題若填空不止一個(gè)研究方向,則以實(shí)得分最高的一個(gè)研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問(wèn)利用拋物線的焦點(diǎn)為
,設(shè)
,
分別過(guò)作拋物線
的準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得到
第二問(wèn)設(shè),分別過(guò)
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得
第三問(wèn)中①取時(shí),拋物線
的焦點(diǎn)為
,
設(shè),
分別過(guò)
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
,
則,不妨取
;
;
;
解:(1)拋物線的焦點(diǎn)為
,設(shè)
,
分別過(guò)作拋物線
的準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image010.png">,所以,
故可取滿足條件.
(2)設(shè),分別過(guò)
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image017.png">
;
所以.
(3) ①取時(shí),拋物線
的焦點(diǎn)為
,
設(shè),
分別過(guò)
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
,
則,不妨取
;
;
;
,
則,
.
故,
,
,
是一個(gè)當(dāng)
時(shí),該逆命題的一個(gè)反例.(反例不唯一)
② 設(shè),分別過(guò)
作
拋物線的準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
,
由及拋物線的定義得
,即
.
因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無(wú)關(guān),所以只要將這
點(diǎn)都取在
軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于零,則
,
而,所以
.
(說(shuō)明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組
個(gè)不同的點(diǎn),均為反例.)
③ 補(bǔ)充條件1:“點(diǎn)的縱坐標(biāo)
(
)滿足
”,即:
“當(dāng)時(shí),若
,且點(diǎn)
的縱坐標(biāo)
(
)滿足
,則
”.此命題為真.事實(shí)上,設(shè)
,
分別過(guò)作拋物線
準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
,由
,
及拋物線的定義得,即
,則
,
又由,所以
,故命題為真.
補(bǔ)充條件2:“點(diǎn)與點(diǎn)
為偶數(shù),
關(guān)于
軸對(duì)稱”,即:
“當(dāng)時(shí),若
,且點(diǎn)
與點(diǎn)
為偶數(shù),
關(guān)于
軸對(duì)稱,則
”.此命題為真.(證略)
已知數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且
(
N*),其中
.
(Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ) 設(shè) (
N*).
①證明: ;
② 求證:.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式,表示通項(xiàng)公式,然后得到第一問(wèn),第二問(wèn)中利用放縮法得到
,②由于
,
所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),由
得
. ……2分
若存在由
得
,
從而有,與
矛盾,所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明:
證法一:∵∴
∴
∴.…………10分
證法二:,下同證法一.
……10分
證法三:(利用對(duì)偶式)設(shè),
,
則.又
,也即
,所以
,也即
,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">,所以
.即
………10分
證法四:(數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)時(shí),
,命題成立;
②假設(shè)時(shí),命題成立,即
,
則當(dāng)時(shí),
即
即
故當(dāng)時(shí),命題成立.
綜上可知,對(duì)一切非零自然數(shù),不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
從而.
也即
【解析】D.當(dāng)時(shí),顯然
;當(dāng)
時(shí),
,所以選D.
已知函數(shù).(
)
(1)若在區(qū)間
上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方,求
的取值范圍.
【解析】第一問(wèn)中,首先利用在區(qū)間
上單調(diào)遞增,則
在區(qū)間
上恒成立,然后分離參數(shù)法得到
,進(jìn)而得到范圍;第二問(wèn)中,在區(qū)間
上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方等價(jià)于
在區(qū)間
上恒成立.然后求解得到。
解:(1)在區(qū)間
上單調(diào)遞增,
則在區(qū)間
上恒成立. …………3分
即,而當(dāng)
時(shí),
,故
.
…………5分
所以.
…………6分
(2)令,定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061918574873515193/SYS201206191859562664899842_ST.files/image016.png">.
在區(qū)間上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方等價(jià)于
在區(qū)間
上恒成立.
∵ …………9分
① 若,令
,得極值點(diǎn)
,
,
當(dāng),即
時(shí),在(
,+∞)上有
,此時(shí)
在區(qū)間
上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有
,不合題意;
當(dāng),即
時(shí),同理可知,
在區(qū)間
上遞增,
有,也不合題意;
…………11分
② 若,則有
,此時(shí)在區(qū)間
上恒有
,從而
在區(qū)間
上是減函數(shù);
要使在此區(qū)間上恒成立,只須滿足
,
由此求得的范圍是
. …………13分
綜合①②可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)
的圖象恒在直線
下方.
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